Limite di integrale di funzione oscillante

[Giuly191]

Buongiorno,
mi trovo ad avere a che fare con il seguente integrale
$$
\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1-x^2}} \log \left( 1 - \sin^2(4 x t) \frac{ (1-g_0)^2 (1-x^2) }{ (1-g_0)^2 + 4 g_0 x^2 }\right)
$$
dove $g_0$ è una costante reale.
Sarebbe carino se riuscissi a calcolare il limite per $t \to \infty$ (c'è evidenza numerica che questo limite esiste). La prima cosa che ho pensato di fare è di rimpiazzare $\sin^2$ con $\frac{1}{2}$, in quanto $\sin^2(t) = \frac{1-\cos(2 t)}{2}$ e per $t \to \infty$ l'integrale del coseno è $0$ su qualsiasi intervallo perchè la sua frequenza diverge... ovviamente non funziona, il risultato dipende da $g_0$ più o meno nel modo giusto, ma non coincide con quello che mi viene numericamente.
La seconda cosa che ho pensato di fare è di sostituire $x t = y$ ad ottenere
$$
\frac{1}{t} \int_0^t \frac{d y}{\sqrt{1-y^2/t^2}} \log \left( 1 - \sin^2(4 y) \frac{ (1-g_0)^2 (1-y^2/t^2) }{ (1-g_0)^2 + 4 g_0 y^2/t^2 }\right)
$$
e di passare al limite sotto il segno di integrale almeno per l'integranda, così da mandare a $0$ tutti i termini in $1/t^2$, ma anche questo non va bene perchè si semplifica la dipendenza da $g_0$ e il risultato dipende da $g_0$ in modo palese.
Infine ho pensato di considerare un esempio più semplice per capire più o meno come funzionano le cose e ho preso
$$
\int_0^1 d x \log ( 1 - \sin^2 (x t) )
$$
Anche questo ammette limite e dovrebbe essere abbastanza facile dimostrare che il suo limite è $-\log 4$, si vede dunque che la sostituzione $\sin^2 \to 1/2$ non va bene perchè porterebbe a $-\log 2$. Purtroppo il modo in cui sono giunto a $-\log 4$ (che non riscrivo perchè so che all'utente medio di questo forum non piacerebbe ) non mi ha illuminato su cosa fare nel caso più complicato di cui sopra.
Se qualcuno qui ha voglia di provarci e riesce a trovarmi almeno una rappresentazione integrale del limite $t \to \infty$ gliene sarò eternamente grato!