Limite di Integrale
Buongiorno ragazzi, dovrei risolvere questo esercizio:
$ lim_(x->0)(int_(0)^(x) (e^t -1)(1-cost) dt )/x^4 =1/8 $
Solo che non so da dove partire. Devo svolgere l'integrale e poi vedere di risolvere il limite??
Se mi potete spiegare come risolverlo mi sareste di grande aiuto!
$ lim_(x->0)(int_(0)^(x) (e^t -1)(1-cost) dt )/x^4 =1/8 $
Solo che non so da dove partire. Devo svolgere l'integrale e poi vedere di risolvere il limite??
Se mi potete spiegare come risolverlo mi sareste di grande aiuto!
Risposte
Meglio procedere con de l'Hôpital.
Ciao keyz23,
Facendo tesoro dell'ottimo suggerimento di Sergeant Elias, il limite che hai proposto, che appare "impestato", diventa molto semplice:
$lim_(x->0)(int_(0)^(x) (e^t -1)(1-cost) dt )/x^4 \overset{H}{=} lim_{x \to 0} frac{(e^x - 1)(1 - cos x)}{4x^3} = frac{1}{4} \cdot lim_{x \to 0} frac{e^x - 1}{x}\cdot lim_{x \to 0} frac{1 - cos x}{x^2} = $
$ = frac{1}{4} \cdot 1 \cdot frac{1}{2} = frac{1}{8} $
Facendo tesoro dell'ottimo suggerimento di Sergeant Elias, il limite che hai proposto, che appare "impestato", diventa molto semplice:
$lim_(x->0)(int_(0)^(x) (e^t -1)(1-cost) dt )/x^4 \overset{H}{=} lim_{x \to 0} frac{(e^x - 1)(1 - cos x)}{4x^3} = frac{1}{4} \cdot lim_{x \to 0} frac{e^x - 1}{x}\cdot lim_{x \to 0} frac{1 - cos x}{x^2} = $
$ = frac{1}{4} \cdot 1 \cdot frac{1}{2} = frac{1}{8} $
Perfetto!! Vi ringrazio siete stati gentilissimi!
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