Limite di funzioni trascendenti
Ho ancora problemi con i limiti, in questo caso di funzione 
In particolare con questo:
$ lim_(x -> -1) (1-cos(x+1))/(x+1)(3(x-1)/(e^(x^2-1)-1)) $
Io ho provato a ricondurmi a limiti notevoli che conosco, ad esempio $ (1-cosx)/x^2 $ o $ (e^x-1)/x $ , usando il metodo del cambio di variabile con $ y=x+1 $ e così via, ma arrivata a un certo punto mi blocco e non so piu' come procedere
Spero possiate darmi una mano
In particolare con questo:
$ lim_(x -> -1) (1-cos(x+1))/(x+1)(3(x-1)/(e^(x^2-1)-1)) $
Io ho provato a ricondurmi a limiti notevoli che conosco, ad esempio $ (1-cosx)/x^2 $ o $ (e^x-1)/x $ , usando il metodo del cambio di variabile con $ y=x+1 $ e così via, ma arrivata a un certo punto mi blocco e non so piu' come procedere
Spero possiate darmi una mano
Risposte
In $y$, il limite diventa
\[\lim_{y\to 0}\dfrac{1-\cos y}{y}\cdot \dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}=\lim_{y\to 0}\dfrac{1-\cos y}{y}\cdot\dfrac{1+\cos y}{1+\cos y} \cdot\dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}=\lim_{y\to 0}\dfrac{1-\cos^2 y}{y(1+\cos y)}\cdot\dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}=\\
=\lim_{y\to 0}\dfrac{\sin^2 y}{y(1+\cos y)}\cdot\dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}=\lim_{y\to 0}\dfrac{\sin^2 y}{y}\cdot\dfrac{1}{(1+\cos y)}\cdot\dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}
\]
Il secondo fattore tende a $1/2$, ce ne occupiamo dopo.
\[\lim_{y\to 0}\dfrac{\sin^2 y}{y}\cdot\dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}=\lim_{y\to 0}\dfrac{\sin^2 y}{y}\cdot\dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}\cdot\dfrac{y^2-2y}{y^2-2y}=\lim_{y\to 0}\dfrac{\sin^2 y}{y}\cdot\dfrac{y^2-2y}{e^{y^2-2y}-1}\cdot\dfrac{3y}{y^2-2y}\]
Il secondo fattore va a $1$: anche questo lo mettiamo da parte.
\[\lim_{y\to 0}\dfrac{\sin^2 y}{y}\cdot\dfrac{3y}{y^2-2y}=\lim_{y\to 0}\dfrac{3\sin^2 y}{y^2-2y}=\cdots =0\]
Dunque il limite vale $0\cdot 1\cdot 1/2=0$. Se invece sai cosa vuol dire che una funzione è infinitesima di ordine tot, tutto questo bordello di conti lo puoi evitare se osservi che, essendo
\[\lim_{y\to 0}\dfrac{1-\cos y}{y}\cdot \dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}=3\lim_{y\to 0}\dfrac{1-\cos y}{e^{y^2-2y}-1},\]
il numeratore è infinitesimo di ordine $2$, il denominatore di ordine $1$.
Ciao
\[\lim_{y\to 0}\dfrac{1-\cos y}{y}\cdot \dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}=\lim_{y\to 0}\dfrac{1-\cos y}{y}\cdot\dfrac{1+\cos y}{1+\cos y} \cdot\dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}=\lim_{y\to 0}\dfrac{1-\cos^2 y}{y(1+\cos y)}\cdot\dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}=\\
=\lim_{y\to 0}\dfrac{\sin^2 y}{y(1+\cos y)}\cdot\dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}=\lim_{y\to 0}\dfrac{\sin^2 y}{y}\cdot\dfrac{1}{(1+\cos y)}\cdot\dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}
\]
Il secondo fattore tende a $1/2$, ce ne occupiamo dopo.
\[\lim_{y\to 0}\dfrac{\sin^2 y}{y}\cdot\dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}=\lim_{y\to 0}\dfrac{\sin^2 y}{y}\cdot\dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}\cdot\dfrac{y^2-2y}{y^2-2y}=\lim_{y\to 0}\dfrac{\sin^2 y}{y}\cdot\dfrac{y^2-2y}{e^{y^2-2y}-1}\cdot\dfrac{3y}{y^2-2y}\]
Il secondo fattore va a $1$: anche questo lo mettiamo da parte.
\[\lim_{y\to 0}\dfrac{\sin^2 y}{y}\cdot\dfrac{3y}{y^2-2y}=\lim_{y\to 0}\dfrac{3\sin^2 y}{y^2-2y}=\cdots =0\]
Dunque il limite vale $0\cdot 1\cdot 1/2=0$. Se invece sai cosa vuol dire che una funzione è infinitesima di ordine tot, tutto questo bordello di conti lo puoi evitare se osservi che, essendo
\[\lim_{y\to 0}\dfrac{1-\cos y}{y}\cdot \dfrac{3y}{e^{y^2-2y}-1}=3\lim_{y\to 0}\dfrac{1-\cos y}{e^{y^2-2y}-1},\]
il numeratore è infinitesimo di ordine $2$, il denominatore di ordine $1$.
Ciao
Ti ringrazio molto per la risposta, ma secondo il pdf da cui ho preso il testo, il risultato dovrebbe essere $ 3/2 $ 
probabilmente c'è un errore nel testo: anche facendo il grafico al pc esce che quel limite deve fare $0$
il risultato del tuo PDF è corretto
\begin{align}
\lim_{x\to -1} \frac{ 1-\cos(x+1) }{ x+1 }\cdot\frac{3(x-1)}{(e^{x^2-1}-1)}&\stackrel{x+1=t}{=}\lim_{t\to0} \frac{ 1-\cos t }{t}\cdot\frac{3(t-2 )}{(e^{(t-2)t}-1)}=3\cdot\lim_{t\to0} \frac{ 1-\cos t }{t^2}\cdot\frac{ t(t-2 )}{ (e^{(t-2)t}-1)}\\
&=\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}
\end{align}
\begin{align}
\lim_{x\to -1} \frac{ 1-\cos(x+1) }{ x+1 }\cdot\frac{3(x-1)}{(e^{x^2-1}-1)}&\stackrel{x+1=t}{=}\lim_{t\to0} \frac{ 1-\cos t }{t}\cdot\frac{3(t-2 )}{(e^{(t-2)t}-1)}=3\cdot\lim_{t\to0} \frac{ 1-\cos t }{t^2}\cdot\frac{ t(t-2 )}{ (e^{(t-2)t}-1)}\\
&=\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}
\end{align}
"Silvietta91":
Ti ringrazio molto per la risposta, ma secondo il pdf da cui ho preso il testo, il risultato dovrebbe essere $ 3/2 $
Il limite che ho calcolato io vale zero, e su questo non ci piove. Il fatto è che, da buon baccalà quale sono, ho scambiato un $x+1$ con un $x-1$ facendo il cambio di variabile, quindi il limite che ho calcolato non era il tuo
Sorry!
"Noisemaker":
il risultato del tuo PDF è corretto
\begin{align}
\lim_{x\to -1} \frac{ 1-\cos(x+1) }{ x+1 }\cdot\frac{3(x-1)}{(e^{x^2-1}-1)}&\stackrel{x+1=t}{=}\lim_{t\to0} \frac{ 1-\cos t }{t}\cdot\frac{3(t-2 )}{(e^{(t-2)t}-1)}=3\cdot\lim_{t\to0} \frac{ 1-\cos t }{t^2}\cdot\frac{ t(t-2 )}{ (e^{(t-2)t}-1)}\\
&=\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}
\end{align}
Ho capito!! Grazie mille
Grazie anche ai vostri suggerimenti riesco ad andare abbastanza spedita nella risoluzione dei limiti Ho però difficoltà con questi due limiti, gli unici che non mi riportano fino ad ora!!
1) $ lim_(x -> 1) ((x-1)(cospix))/sin(pix) $
Ho provato ad applicare subito De L'Hospital e mi viene fuori $ (1(-sinx)pi)/(cos(pix)pi $ $ -> (-sinpix)/cos(pix) =0/1=+oo $ mentre il risultato dovrebbe essere $ 1/pi $ , ma non capisco proprio dove sbaglio
2) $ lim_(x -> 0) (e^(2x)-1-2x)/(sin^2x) $ dove ho cercato di usare i limiti notevoli, scrivendo $ (e^(2x)-1)/(2x) . (2x)/(sin^2x)-(2x)/(sin^2x) $ ma ritorno sempre a una forma indeterminata $ 0/0 $ e non ne esco fuori, anche provando ad usare De L'Hospital
Grazie a chi mi aiuterà
Ho però difficoltà con questi due limiti, gli unici che non mi riportano fino ad ora!!1) $ lim_(x -> 1) ((x-1)(cospix))/sin(pix) $
Ho provato ad applicare subito De L'Hospital e mi viene fuori $ (1(-sinx)pi)/(cos(pix)pi $ $ -> (-sinpix)/cos(pix) =0/1=+oo $ mentre il risultato dovrebbe essere $ 1/pi $ , ma non capisco proprio dove sbaglio
2) $ lim_(x -> 0) (e^(2x)-1-2x)/(sin^2x) $ dove ho cercato di usare i limiti notevoli, scrivendo $ (e^(2x)-1)/(2x) . (2x)/(sin^2x)-(2x)/(sin^2x) $ ma ritorno sempre a una forma indeterminata $ 0/0 $ e non ne esco fuori, anche provando ad usare De L'Hospital
Grazie a chi mi aiuterà
Il primo limite lo puoi risolvere prima cambiando variabile, ponendo $y=x-1$, e poi usando qualche formula della trigonometria (che non ricordo e mai lo farò ).
Il secondo si dovrebbe poter risolvere con De l'Hopital. Altrimenti, se lo conosci, "San Taylor" risolve tutto
Ciao
).Il secondo si dovrebbe poter risolvere con De l'Hopital. Altrimenti, se lo conosci, "San Taylor" risolve tutto
Ciao
per risolvere il primo limite, posto $x-1=t, x=t+1$ essendo per $x\to1,$ $t\to0,$ il limite diviene:
\begin{align}
\lim_{x\to1}\frac{(x-1)\cos\pi x}{\sin\pi x}\stackrel{x-1=t}{=}
\lim_{t\to0}\frac{t \cos\left[\pi (t+1)\right]}{\sin\left[\pi (t+1)\right]};
\end{align}
a questo punto è utile ricodare le formule di addizione del seno e del coseno:
\begin{align}
\sin (\alpha + \beta)&=\sin \alpha \cos\beta + \cos\alpha\sin \beta, \\
\cos(\alpha + \beta)&=\cos\alpha \cos\beta - \sin \alpha \sin \beta,
\end{align}
ovvero nel tuo caso:
\begin{align}
\sin\left[\pi (t+1)\right]&=\sin\left(\pi t+\pi)\right) =\sin\pi t \cos\pi + \cos\pi t\sin\pi =-\sin\pi t,\\
\cos\left[\pi (t+1)\right]&= \cos\left(\pi t+t \right) =\cos\pi t\cos t - \sin \pi t \sin t =-\cos\pi t;
\end{align}
e dunque il limite risulta
\begin{align}
\lim_{x\to1}\frac{(x-1)\cos\pi x}{\sin\pi x}&\stackrel{x-1=t}{=}
\lim_{t\to0}\frac{t \cos\left[\pi (t+1)\right]}{\sin\left[\pi (t+1)\right]}=\lim_{t\to0}\frac{t \left(-\cos\pi t\right)}{ \left(-\sin\pi t\right)} =\lim_{t\to0}\frac{t \cdot\cos\pi t }{ \sin\pi t } \\
&=\lim_{t\to0}\frac{t\pi}{ \sin\pi t } \cdot\frac{\cos\pi t}{\pi} =1\cdot\frac{1}{\pi} =\frac{1}{\pi}.
\end{align}
NOTA:
nella tua soluzione, hai applicato De L'Hopital in modo errato: infatti hai applicato male la regola di derivazione del prodotto; più correttamente sarebbe:
\begin{align}
\lim_{x\to1}\frac{(x-1)\cos\pi x}{\sin\pi x}&\stackrel{\bf(H)}{=}\lim_{x\to1}\frac{\cos\pi x-\pi(x-1)\sin \pi x}{\pi\cos\pi x} =\frac{-1-0}{\pi(-1)}=\frac{1}{\pi}.
\end{align}
Per quanto riguarda il secondo, senza chiamare in causa gli sviluppi di Taylor (che se ne fossi stata a conoscenza non avresti avuto dubbi su come calcoalre quel limite), puoi come hai giustamente osservato applicare la regola di De L'Hopital:
\begin{align}
\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1-2x}{\sin^2 x}&\stackrel{\bf (H)}{=}\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}-2}{2\sin x\cos x} =\lim_{x\to0}\frac{ e^{2x}-1}{ \sin x\cos x} =\lim_{x\to0}\frac{ e^{2x}-1}{2x}\cdot\frac{2x}{ \sin x\cos x}\\
& =\lim_{x\to0}\frac{ e^{2x}-1}{2x}\cdot\frac{ x}{ \sin x }\cdot\frac{2 }{ \cos x}=1\cdot1\cdot 2=2.
\end{align}
\begin{align}
\lim_{x\to1}\frac{(x-1)\cos\pi x}{\sin\pi x}\stackrel{x-1=t}{=}
\lim_{t\to0}\frac{t \cos\left[\pi (t+1)\right]}{\sin\left[\pi (t+1)\right]};
\end{align}
a questo punto è utile ricodare le formule di addizione del seno e del coseno:
\begin{align}
\sin (\alpha + \beta)&=\sin \alpha \cos\beta + \cos\alpha\sin \beta, \\
\cos(\alpha + \beta)&=\cos\alpha \cos\beta - \sin \alpha \sin \beta,
\end{align}
ovvero nel tuo caso:
\begin{align}
\sin\left[\pi (t+1)\right]&=\sin\left(\pi t+\pi)\right) =\sin\pi t \cos\pi + \cos\pi t\sin\pi =-\sin\pi t,\\
\cos\left[\pi (t+1)\right]&= \cos\left(\pi t+t \right) =\cos\pi t\cos t - \sin \pi t \sin t =-\cos\pi t;
\end{align}
e dunque il limite risulta
\begin{align}
\lim_{x\to1}\frac{(x-1)\cos\pi x}{\sin\pi x}&\stackrel{x-1=t}{=}
\lim_{t\to0}\frac{t \cos\left[\pi (t+1)\right]}{\sin\left[\pi (t+1)\right]}=\lim_{t\to0}\frac{t \left(-\cos\pi t\right)}{ \left(-\sin\pi t\right)} =\lim_{t\to0}\frac{t \cdot\cos\pi t }{ \sin\pi t } \\
&=\lim_{t\to0}\frac{t\pi}{ \sin\pi t } \cdot\frac{\cos\pi t}{\pi} =1\cdot\frac{1}{\pi} =\frac{1}{\pi}.
\end{align}
NOTA:
nella tua soluzione, hai applicato De L'Hopital in modo errato: infatti hai applicato male la regola di derivazione del prodotto; più correttamente sarebbe:
\begin{align}
\lim_{x\to1}\frac{(x-1)\cos\pi x}{\sin\pi x}&\stackrel{\bf(H)}{=}\lim_{x\to1}\frac{\cos\pi x-\pi(x-1)\sin \pi x}{\pi\cos\pi x} =\frac{-1-0}{\pi(-1)}=\frac{1}{\pi}.
\end{align}
Per quanto riguarda il secondo, senza chiamare in causa gli sviluppi di Taylor (che se ne fossi stata a conoscenza non avresti avuto dubbi su come calcoalre quel limite), puoi come hai giustamente osservato applicare la regola di De L'Hopital:
\begin{align}
\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1-2x}{\sin^2 x}&\stackrel{\bf (H)}{=}\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}-2}{2\sin x\cos x} =\lim_{x\to0}\frac{ e^{2x}-1}{ \sin x\cos x} =\lim_{x\to0}\frac{ e^{2x}-1}{2x}\cdot\frac{2x}{ \sin x\cos x}\\
& =\lim_{x\to0}\frac{ e^{2x}-1}{2x}\cdot\frac{ x}{ \sin x }\cdot\frac{2 }{ \cos x}=1\cdot1\cdot 2=2.
\end{align}
La stanchezza mi ha fatto sbagliare le derivate! Vi ringrazio come al solito per la tempestività nelle risposte e la competenza..ora mi esercito un pò con de l'Hopital!
Nella sessione di oggi ho avuto problemi con 3 limiti su tutti quelli che ho fatto Ve li elenco:
1) $ lim_(x -> pi/2) (2x-pi)tanx $
dove ho provato a scriverla così $ tanx/(1/(2x-pi)) $ in modo da poter applicare de l'Hopital ma mi perdo nelle derivazioni, il risultato è $ -2 $.
2) $ lim_(x -> 0) (1+sinx)^(2/x) $
dove ho portato l'esponente davanti $ (2/x)log(1+sinx) $ e l'ho riportato a limite notevole $ (log (1+sinx))/sinx (2/x) sinx $ e come risultato mi viene 2 mentre dovrebbe riportare 1
3) $ lim_(x -> +oo) x-ln(1+e^x+x^2) $
dove ho raccolto la $ e^x $ all'interno del logaritmo e mi riporta $ x-xlne $ e quindi $ x-x $ ma con $ x->+oo $ non so se sia un forma indeterminata o riporti semplicemente 0
Grazie mille
Ve li elenco:1) $ lim_(x -> pi/2) (2x-pi)tanx $
dove ho provato a scriverla così $ tanx/(1/(2x-pi)) $ in modo da poter applicare de l'Hopital ma mi perdo nelle derivazioni, il risultato è $ -2 $.
2) $ lim_(x -> 0) (1+sinx)^(2/x) $
dove ho portato l'esponente davanti $ (2/x)log(1+sinx) $ e l'ho riportato a limite notevole $ (log (1+sinx))/sinx (2/x) sinx $ e come risultato mi viene 2 mentre dovrebbe riportare 1
3) $ lim_(x -> +oo) x-ln(1+e^x+x^2) $
dove ho raccolto la $ e^x $ all'interno del logaritmo e mi riporta $ x-xlne $ e quindi $ x-x $ ma con $ x->+oo $ non so se sia un forma indeterminata o riporti semplicemente 0
Grazie mille
"Silvietta91":
1) $ lim_(x -> pi/2) (2x-pi)tanx $
dove ho provato a scriverla così $ tanx/(1/(2x-pi)) $ in modo da poter applicare de l'Hopital ma mi perdo nelle derivazioni, il risultato è $ -2 $.
in questo caso è più semplice considerare la sostituzione $x-\pi/2=t, x=\pi/2+t,$ e cosiderare il limite:
\begin{align}
\lim_{t\to0}\left[2\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-\pi\right]\tan\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=-\lim_{t\to0}2t \cot t=-\lim_{t\to0}2t \cdot\frac{\cos t}{\sin t}=-\lim_{t\to0}2\cos t \cdot\frac{t}{\sin t}=-2
\end{align}
"Silvietta91":
2) $ lim_(x -> 0) (1+sinx)^(2/x) $
dove ho portato l'esponente davanti $ (2/x)log(1+sinx) $ e l'ho riportato a limite notevole $ (log (1+sinx))/sinx (2/x) sinx $ e come risultato mi viene 2 mentre dovrebbe riportare 1
\quello che hai fatto è corretto ma quando applichi quella proprietà dei logaritmi, in realtà stai operando con un esponenziale:
\begin{align}
\lim_{x\to0} (1+\sin x)^{\frac{2}{x}}=e^{\left(\frac{2}{x}\right)\ln\left(1+\sin x \right)} =...[\mbox{per i tuoi ragionamenti}]...=e^2
\end{align}
"Silvietta91":
3) $ lim_(x -> +oo) x-ln(1+e^x+x^2) $
dove ho raccolto la $ e^x $ all'interno del logaritmo e mi riporta $ x-xlne $ e quindi $ x-x $ ma con $ x->+oo $ non so se sia un forma indeterminata o riporti semplicemente 0
\begin{align}
\lim_{x\to+\infty} x-\ln(1+e^x+x^2)&=\lim_{x\to+\infty} x-\ln\left(\frac{1}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}+1\right)=\lim_{x\to+\infty} x-\frac{\ln\left(\frac{1}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}+1\right)}{\frac{1}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}}\cdot\left(\frac{1}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}\right)\\
&=0-1(0+0)=0
\end{align}
"Noisemaker":
[quote="Silvietta91"]
1) $ lim_(x -> pi/2) (2x-pi)tanx $
dove ho provato a scriverla così $ tanx/(1/(2x-pi)) $ in modo da poter applicare de l'Hopital ma mi perdo nelle derivazioni, il risultato è $ -2 $.
in questo caso è più semplice considerare la sostituzione $x-\pi/2=t, x=\pi/2+t,$ e cosiderare il limite:
\begin{align}
\lim_{t\to0}\left[2\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-\pi\right]\tan\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=-\lim_{t\to0}2t \cot t=-\lim_{t\to0}2t \cdot\frac{\cos t}{\sin t}=-\lim_{t\to0}2\cos t \cdot\frac{t}{\sin t}=-2
\end{align}
[/quote]
Qui è tutto chiaro tranne il segno negativo davanti al limite... come c'è finito?
"Noisemaker":
[quote="Silvietta91"]
2) $ lim_(x -> 0) (1+sinx)^(2/x) $
dove ho portato l'esponente davanti $ (2/x)log(1+sinx) $ e l'ho riportato a limite notevole $ (log (1+sinx))/sinx (2/x) sinx $ e come risultato mi viene 2 mentre dovrebbe riportare 1
\quello che hai fatto è corretto ma quando applichi quella proprietà dei logaritmi, in realtà stai operando con un esponenziale:
\begin{align}
\lim_{x\to0} (1+\sin x)^{\frac{2}{x}}=e^{\left(\frac{2}{x}\right)\ln\left(1+\sin x \right)} =...[\mbox{per i tuoi ragionamenti}]...=e^2
\end{align}
[/quote]
Qui sarebbe perfetto perchè è esattamente quello che ho fatto
il problema è che il risultato non è $ e^2 $ ma $ 1 $ "Noisemaker":
[quote="Silvietta91"]
3) $ lim_(x -> +oo) x-ln(1+e^x+x^2) $
dove ho raccolto la $ e^x $ all'interno del logaritmo e mi riporta $ x-xlne $ e quindi $ x-x $ ma con $ x->+oo $ non so se sia un forma indeterminata o riporti semplicemente 0
\begin{align}
\lim_{x\to+\infty} x-\ln(1+e^x+x^2)&=\lim_{x\to+\infty} x-\ln\left(\frac{1}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}+1\right)=\lim_{x\to+\infty} x-\frac{\ln\left(\frac{1}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}+1\right)}{\frac{1}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}}\cdot\left(\frac{1}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}\right)\\
&=0-1(0+0)=0
\end{align}[/quote]
Qui ho un pò più di difficoltà! Cos'è successo a $ e^x $ nel secondo passaggio? Se hai raccolto perchè non c'è fuori dalla parentesi? E perchè alla fine hai sostituito $ 0 $ alla $ x $ se la $ x->oo $
Grazie per la disponibilità e scusa per l'interrogatorio
per la prima domanda, il segno meno è usicto dalla relazione
\[\tan\left(\frac{\pi}{2}+t\right) =-\cot t;\]
per la seconda, se il limite è quello il risultato non può che essere $e^2;$
per la terza ho dimenticato io qualche pezzo scrivendo ....
\begin{align}
\lim_{x\to+\infty} x-\ln(1+e^x+x^2)&=\lim_{x\to+\infty} x-\ln\left[e^x\left(\frac{1}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}+1\right)\right]=\lim_{x\to+\infty} x-\ln e^x-\ln \left(\frac{1}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}+1\right) =\\
&=-\lim_{x\to+\infty} \ln \left(\frac{1}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}+1\right)=0.
\end{align}
\[\tan\left(\frac{\pi}{2}+t\right) =-\cot t;\]
per la seconda, se il limite è quello il risultato non può che essere $e^2;$
per la terza ho dimenticato io qualche pezzo scrivendo ....
\begin{align}
\lim_{x\to+\infty} x-\ln(1+e^x+x^2)&=\lim_{x\to+\infty} x-\ln\left[e^x\left(\frac{1}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}+1\right)\right]=\lim_{x\to+\infty} x-\ln e^x-\ln \left(\frac{1}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}+1\right) =\\
&=-\lim_{x\to+\infty} \ln \left(\frac{1}{e^x}+\frac{x^2}{e^x}+1\right)=0.
\end{align}
Ok, tutto chiaro!! Grazie!!
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