Limite di funzioni di due variabili

[SteezyMenchi]

Salve a tutti, avrei bisogno di qualche hint sulla risoluzione di questo limite:
$lim_{ (x,y) \to \vec 0} =\frac{1-e^{x^8y}}{x^8+y^8} $. Non so perché ma non so come trattare quell'esponenziale. L'unica possibilità che mi è venuta in mente è provare a sostituire l'esponente con $t$ e provare a ricondurmi al limite notevole(tuttavia ho qualche dubbio se ciò sia lecito) oppure fare lo stesso ma poi sviluppando con taylor. Le coordinate polari nemmeno mi sembrano un'ottima strada
In generale, per vostra esperienza, come si trattano termini del tipo $e^xy$.
Se possibile, se qualcuno potesse darmi anche delle precisazioni sull'estendere l'uso dei limiti notevoli a funzioni bivariate mi farebbe un gran favore. Thanks in anticipo

[pilloeffe]

Ciao SteezyMenchi,

Potresti osservare che si ha:

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1-e^{x^8y}}{x^8+y^8} = - \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{e^{x^8y} - 1}{x^8y} \cdot \frac{x^8y}{x^8+y^8} $

[SteezyMenchi]

è come avevo pensato allora. Pillo mi confermi che non c'è qualche accortezza (magari che tu hai dato per scontato) da prendere quando faccio un'operazione del genere? Potremmo fare così: se non risponderai a questo messaggio, allora vorrà dire che non c'è nulla da aggiungere

[Mephlip]

Sì, si possono usare i limiti notevoli anche per funzioni di più variabili: basta notare che $x^8 y \to 0$ per $(x,y) \to (0,0)$ e quindi porre $t:=x^8 y$. L'unica accortezza in questo caso (ma che si dovrebbe avere anche per limiti di una variabile) è che si potrebbe dividere per $0$. Secondo te, come mai quello che ha fatto pilloeffe è corretto e non c'è il rischio di aver diviso per $0$?

[SteezyMenchi]

Scusate il ritardo. Per risponderti Mephlip forse direi che coseno e seno non si annullano mai entrambi e quindi la quantità a denominatore è sicuramente non nulla. Scusa Mephlip, una piccola curiosità ( ) ma dopo per risolverlo posso passare a coordinate polari, e se non ho fatto castronerie come nell'altro thread, dovrei arrivare a $lim_ {\rho \to 0^+} \rho \frac{1}{cos^8 \theta+ sin^8 theta}$ e siccome la quantità a denominatore è sicuramente positiva e quindi il termine $a(\rho, \theta)$ è una quantità limitata possiamo affermare che il limite esiste e vale $0$.

[Mephlip]

Nessun problema, sul forum si risponde con la dovuta calma . Diciamo che intuitivamente ci sei, ma a rigore si dovrebbe dimostrare che la funzione $\cos^8 \theta+\sin^8 \theta$ ha un minimo strettamente positivo: questo perché, anche se una funzione ha denominatore strettamente positivo, potrebbe diventare arbitrariamente grande. Ad esempio $1/x$ in un intorno destro di $0$: essa ha denominatore mai nullo e strettamente positivo in ogni intorno destro di $0$, ma può diventare arbitrariamente grande. Quindi, potrebbero esserci problemi se non si dimostra che il denominatore sta almeno un pochino lontano da $0$ perché, anche se $\rho$ tende a $0$, tale tendenza potrebbe essere bilanciata dal fatto che il denominatore diventa arbitrariamente grande e ciò non permette una conclusione. Nel caso di $1/x$ in un intorno destro di $0$ ciò non è possibile proprio perché è illimitata, ma nel caso di $\frac{1}{\cos^8\theta+\sin^8\theta}$ si può dire qualcosa?

Alternativamente, puoi notare che $x^8+y^8 \ge x^8\ge 0$ e quindi $\frac{x^8|y|}{x^8+y^8} \le |y|$.

Comunque, il punto fondamentale che intendevo comunicare era un altro: un fatto teorico importantissimo dei limiti è che, nella definizione, si esclude il punto in cui si fa il limite e si considerano solo valori arbitrariamente vicini ad esso (ossia, si sta considerando un punto di accumulazione). Questo permette di dire che $(x,y)\ne(0,0)$ e di poter dividere per $x^8y$. È molto importante, perché è proprio il cuore del concetto di limite: non possiamo calcolare una funzione in un punto in cui non è definita, ma moralmente vogliamo sapere come si comporta lì intorno senza considerare mai effettivamente tale punto.

[pilloeffe]

"Mephlip":ma nel caso di $1/(cos^8 \theta+sin^8\theta) $ si può dire qualcosa?

Beh, si può anche dimostrare che si ha:

$ m = 1 \le 1/(cos^8 \theta+sin^8\theta) \le M = 8 $

[Mephlip]

Certo, ma perché faticare quando possiamo far faticare i teoremi al posto nostro?

[pilloeffe]

Beh, in realtà non si fa molta fatica, si tratta di un caso particolare della disuguaglianza di Chebyshev: se $a$ e $b$ sono due numeri tali che $a^2 + b^2 = 1 $, allora per $n > 1$ si ha:

$a^{2n} + b^{2n} \ge 1/2^{n - 1} $

Nel caso in esame $a = cos\theta $, $b = sin\theta $, e $n = 4 $.

[SteezyMenchi]

Piccola curiosità Pillo, quella disuguaglianza la vidi sulle dispense di laboratorio di meccanica (il professore non ne parlò mai tuttavia), adesso che l'ho cercata su wikipedia posso confermare che è proprio quella (il libro usava la dicitura cebicev perciò non ero sicuro al 100%). Comunque io per rispondere alla domanda di Mephlip avrei detto quella funzione $1 / (cos^8\theta + sin^8\theta)$ è continua perché composizione di funzioni $C^0$ in un intervallo simmetrico intorno all'origine, uso weierstrass e quindi la funzione ammette in quell'intervallo massimo e minimo assoluti. Adesso mi basterebbe trovare il minimo in quell'intervallo e (non faccio i calcoli) troveremo $\theta_min : 0 < f(\theta_min) < f(\theta) \AA \theta$ e quindi siamo sicuri di stare nelle giuste ipotesi per usare quel limite notevole.

[Mephlip]

Sì, esatto. Unico dettaglio: la scrittura corretta è $0

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[SteezyMenchi]

Sì si hai ragione grazie per avermelo fatto notare Mephlip
P.S Grazie per l'aiuto e le correzioni