Limite di funzioni continue avanzato

[SteezyMenchi]

Mi serve una mano con questo limite è più di un'ora che ci combatto:
$lim[(((logx)^2)^(1/3)-(((logx)^2)+3)^(1/3))*logx] as x->+\infty$

Io ho provato a fare un cambio di variabile ponendo $t= logx$ e poi ho provato a moltiplicare il numeratore e il denominatore per $t^(1/3)$ ma non ho concluso niente. la mia intenzione era di liberarmi delle radici a numeratore ma la cosa è praticamente impossibile dato che si tratta di radici cubiche. Inoltre non ci sono limiti notevoli applicabili e nemmeno cambi di variabile furbi che mi siano venuti in mente. Grazie a chi mi aiuterà.
Il prof ha detto che dovrebbe venire &0&

[otta96]

È illeggibile, riscrivi le formule e controlla che sia legga bene prima di dare conferma.

[SteezyMenchi]

"otta96":È illeggibile, riscrivi le formule e controlla che sia legga bene prima di dare conferma.

scusa non usare il Latex però adesso mi sembra corretto

[Mephlip]

Io personalmente porrei $t=(\log x)^2$ e, visto che quando $x \to \infty$ è $\log x>0$, segue che $\log x=\sqrt{t}$: quindi il tuo limite è uguale a
$$\lim_{t \to \infty}\left(\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{t+3}\right)\sqrt{t}$$
Non è impossibile liberarsi dalle radici cubiche: hai che per ogni $a\in\mathbb{R}$ e per ogni $b\in\mathbb{R}$ vale $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, pertanto, sostituendo $a=\root[3]{u}$ e $b=\root{3}{v}$, ottieni che per ogni $u\in\mathbb{R}$ e per ogni $v\in\mathbb{R}$ risulta $u-v=(\root{3}{u}-\root{3}{v})(\root{3}{u^2}+\root{3}{u}\cdot\root{3}{v}+\root{3}{v^2})$.

Infine, dividendo per $\root{3}{u^2}+\root{3}{u}\cdot\root{3}{v}+\root{3}{v^2}$ (cosa possibile se $u\ne0$ e $v \ne 0$, ma dato che nel tuo caso $u=t$ e $v=t+3$ è certamente $t \ne 0$ e $t+3 \ne 0$ per $t \to \infty$) risulta
$$\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{v}=\frac{u-v}{\sqrt[3]{u^2}+\sqrt[3]{u}\cdot\sqrt[3]{v}+\sqrt[3]{v^2}}$$
Perciò
$$\lim_{t \to \infty}\left(\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{t+3}\right)\sqrt{t}=\lim_{t \to \infty}\frac{t-(t+3)}{\sqrt[3]{t^2}+\sqrt[3]{t}\cdot\sqrt[3]{t+3}+\sqrt[3]{(t+3)^2}}\sqrt{t}$$
Riesci a concludere da qui in avanti?

[pilloeffe]

Ciao SteezyMenchi,

Un po' più semplicemente rispetto a quanto ti ha già scritto Mephlip, partendo da qui:

$ \lim_{t \to +\infty} (\root[3]{t}-\root[3]{t+3})\sqrt{t} = - \lim_{t \to +\infty}(\root[3]{t+3} - \root[3]{t})\sqrt{t} = $
$ = - \lim_{t \to +\infty}(\root[3]{1+3/t} - 1)t^{5/6} = - 3\cdot \lim_{t \to +\infty}(\root[3]{1+3/t} - 1)/(3/t) \cdot t^{5/6 - 1} = $
$ = - 3\cdot \lim_{t \to +\infty}(\root[3]{1+3/t} - 1)/(3/t) \cdot t^{- 1/6} = - 3\cdot 1/3 \cdot 0 = 0 $

[SteezyMenchi]

Grazie a entrambi. Una cosa sola Pilo: come hai fatto a raccogliere il $t^(1/3)$ all'interno della prima radice pur essendo esso dentro l'argomento di questa. so che questa cosa si può fare con la radice quadrata con dentro $x^2$ (portando fuori modulo di x). Non mi torna nemmeno quel $t^(5/6)$ che suppongo avrai ottenuto moltiplicando $sqrt(t)$ per la radice che hai raccolto. Per il resto la tua soluzione sembra perfetta dato che hai sfruttato anche il limite notevole(che era nella richiesta dell'esercizio che io ho omesso)

[pilloeffe]

Beh, si ha:

$ \root[3]{t+3} = \root[3]{t \cdot (1+3/t)} = \root[3]{t} \cdot \root[3]{1+3/t} $

Moltiplicando poi la radice cubica per quella quadrata si ha: $ \root[3]{t} \cdot \sqrt{t} = t^{1/3} \cdot t^{1/2} = t^{1/3 + 1/2} = t^{5/6} $
Problemi di moduli non ce ne sono, perché la radice è cubica e comunque $t \to +\infty $, quindi siamo piuttosto sicuri che si tratta di quantità positive...