Limite di funzioni continue avanzato
Mi serve una mano con questo limite è più di un'ora che ci combatto:
$lim[(((logx)^2)^(1/3)-(((logx)^2)+3)^(1/3))*logx] as x->+\infty$
Io ho provato a fare un cambio di variabile ponendo $t= logx$ e poi ho provato a moltiplicare il numeratore e il denominatore per $t^(1/3)$ ma non ho concluso niente. la mia intenzione era di liberarmi delle radici a numeratore ma la cosa è praticamente impossibile dato che si tratta di radici cubiche. Inoltre non ci sono limiti notevoli applicabili e nemmeno cambi di variabile furbi che mi siano venuti in mente. Grazie a chi mi aiuterà.
Il prof ha detto che dovrebbe venire &0&
$lim[(((logx)^2)^(1/3)-(((logx)^2)+3)^(1/3))*logx] as x->+\infty$
Io ho provato a fare un cambio di variabile ponendo $t= logx$ e poi ho provato a moltiplicare il numeratore e il denominatore per $t^(1/3)$ ma non ho concluso niente. la mia intenzione era di liberarmi delle radici a numeratore ma la cosa è praticamente impossibile dato che si tratta di radici cubiche. Inoltre non ci sono limiti notevoli applicabili e nemmeno cambi di variabile furbi che mi siano venuti in mente. Grazie a chi mi aiuterà.
Il prof ha detto che dovrebbe venire &0&
Risposte
È illeggibile, riscrivi le formule e controlla che sia legga bene prima di dare conferma.
"otta96":
È illeggibile, riscrivi le formule e controlla che sia legga bene prima di dare conferma.
scusa non usare il Latex però adesso mi sembra corretto
Io personalmente porrei $t=(\log x)^2$ e, visto che quando $x \to \infty$ è $\log x>0$, segue che $\log x=\sqrt{t}$: quindi il tuo limite è uguale a
$$\lim_{t \to \infty}\left(\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{t+3}\right)\sqrt{t}$$
Non è impossibile liberarsi dalle radici cubiche: hai che per ogni $a\in\mathbb{R}$ e per ogni $b\in\mathbb{R}$ vale $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, pertanto, sostituendo $a=\root[3]{u}$ e $b=\root{3}{v}$, ottieni che per ogni $u\in\mathbb{R}$ e per ogni $v\in\mathbb{R}$ risulta $u-v=(\root{3}{u}-\root{3}{v})(\root{3}{u^2}+\root{3}{u}\cdot\root{3}{v}+\root{3}{v^2})$.
Infine, dividendo per $\root{3}{u^2}+\root{3}{u}\cdot\root{3}{v}+\root{3}{v^2}$ (cosa possibile se $u\ne0$ e $v \ne 0$, ma dato che nel tuo caso $u=t$ e $v=t+3$ è certamente $t \ne 0$ e $t+3 \ne 0$ per $t \to \infty$) risulta
$$\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{v}=\frac{u-v}{\sqrt[3]{u^2}+\sqrt[3]{u}\cdot\sqrt[3]{v}+\sqrt[3]{v^2}}$$
Perciò
$$\lim_{t \to \infty}\left(\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{t+3}\right)\sqrt{t}=\lim_{t \to \infty}\frac{t-(t+3)}{\sqrt[3]{t^2}+\sqrt[3]{t}\cdot\sqrt[3]{t+3}+\sqrt[3]{(t+3)^2}}\sqrt{t}$$
Riesci a concludere da qui in avanti?
$$\lim_{t \to \infty}\left(\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{t+3}\right)\sqrt{t}$$
Non è impossibile liberarsi dalle radici cubiche: hai che per ogni $a\in\mathbb{R}$ e per ogni $b\in\mathbb{R}$ vale $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, pertanto, sostituendo $a=\root[3]{u}$ e $b=\root{3}{v}$, ottieni che per ogni $u\in\mathbb{R}$ e per ogni $v\in\mathbb{R}$ risulta $u-v=(\root{3}{u}-\root{3}{v})(\root{3}{u^2}+\root{3}{u}\cdot\root{3}{v}+\root{3}{v^2})$.
Infine, dividendo per $\root{3}{u^2}+\root{3}{u}\cdot\root{3}{v}+\root{3}{v^2}$ (cosa possibile se $u\ne0$ e $v \ne 0$, ma dato che nel tuo caso $u=t$ e $v=t+3$ è certamente $t \ne 0$ e $t+3 \ne 0$ per $t \to \infty$) risulta
$$\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{v}=\frac{u-v}{\sqrt[3]{u^2}+\sqrt[3]{u}\cdot\sqrt[3]{v}+\sqrt[3]{v^2}}$$
Perciò
$$\lim_{t \to \infty}\left(\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{t+3}\right)\sqrt{t}=\lim_{t \to \infty}\frac{t-(t+3)}{\sqrt[3]{t^2}+\sqrt[3]{t}\cdot\sqrt[3]{t+3}+\sqrt[3]{(t+3)^2}}\sqrt{t}$$
Riesci a concludere da qui in avanti?
Ciao SteezyMenchi,
Un po' più semplicemente rispetto a quanto ti ha già scritto Mephlip, partendo da qui:
$ \lim_{t \to +\infty} (\root[3]{t}-\root[3]{t+3})\sqrt{t} = - \lim_{t \to +\infty}(\root[3]{t+3} - \root[3]{t})\sqrt{t} = $
$ = - \lim_{t \to +\infty}(\root[3]{1+3/t} - 1)t^{5/6} = - 3\cdot \lim_{t \to +\infty}(\root[3]{1+3/t} - 1)/(3/t) \cdot t^{5/6 - 1} = $
$ = - 3\cdot \lim_{t \to +\infty}(\root[3]{1+3/t} - 1)/(3/t) \cdot t^{- 1/6} = - 3\cdot 1/3 \cdot 0 = 0 $
Un po' più semplicemente rispetto a quanto ti ha già scritto Mephlip, partendo da qui:
$ \lim_{t \to +\infty} (\root[3]{t}-\root[3]{t+3})\sqrt{t} = - \lim_{t \to +\infty}(\root[3]{t+3} - \root[3]{t})\sqrt{t} = $
$ = - \lim_{t \to +\infty}(\root[3]{1+3/t} - 1)t^{5/6} = - 3\cdot \lim_{t \to +\infty}(\root[3]{1+3/t} - 1)/(3/t) \cdot t^{5/6 - 1} = $
$ = - 3\cdot \lim_{t \to +\infty}(\root[3]{1+3/t} - 1)/(3/t) \cdot t^{- 1/6} = - 3\cdot 1/3 \cdot 0 = 0 $
Grazie a entrambi. Una cosa sola Pilo: come hai fatto a raccogliere il $t^(1/3)$ all'interno della prima radice pur essendo esso dentro l'argomento di questa. so che questa cosa si può fare con la radice quadrata con dentro $x^2$ (portando fuori modulo di x). Non mi torna nemmeno quel $t^(5/6)$ che suppongo avrai ottenuto moltiplicando $sqrt(t)$ per la radice che hai raccolto. Per il resto la tua soluzione sembra perfetta dato che hai sfruttato anche il limite notevole(che era nella richiesta dell'esercizio che io ho omesso)
Beh, si ha:
$ \root[3]{t+3} = \root[3]{t \cdot (1+3/t)} = \root[3]{t} \cdot \root[3]{1+3/t} $
Moltiplicando poi la radice cubica per quella quadrata si ha: $ \root[3]{t} \cdot \sqrt{t} = t^{1/3} \cdot t^{1/2} = t^{1/3 + 1/2} = t^{5/6} $
Problemi di moduli non ce ne sono, perché la radice è cubica e comunque $t \to +\infty $, quindi siamo piuttosto sicuri che si tratta di quantità positive...
$ \root[3]{t+3} = \root[3]{t \cdot (1+3/t)} = \root[3]{t} \cdot \root[3]{1+3/t} $
Moltiplicando poi la radice cubica per quella quadrata si ha: $ \root[3]{t} \cdot \sqrt{t} = t^{1/3} \cdot t^{1/2} = t^{1/3 + 1/2} = t^{5/6} $
Problemi di moduli non ce ne sono, perché la radice è cubica e comunque $t \to +\infty $, quindi siamo piuttosto sicuri che si tratta di quantità positive...
