Limite di funzioni a 2 variabili
Ciao a tutti!
Avrei qualche domanda da porvi a proposito dei limiti di f(x,y):
Può essere considerato rigoroso lo studio di un limite mediante l'utilizzo dell'uguaglianza y=mx da sostituire in f(x,y), cosicchè si abbia poi un semplice limite nella variabile x, condizionato al massimo dal parametro m? (ossia, se m appare nel risultato del limite significa che a seconda della direzione si hanno valori diversi e quindi il limite stesso non esiste, giusto?)
E, nel caso questo non sia rigoroso, quali sono le alternative? Per forza usare limiti notevoli (che non sempre sono immediati)? O c'è un qualche algoritmo/teorema/postulato/corollario/tradizione popolare/diceria/detto che mi possa aiutare?
Vi ringrazio molto per il tempo dedicatomi!
Avrei qualche domanda da porvi a proposito dei limiti di f(x,y):
Può essere considerato rigoroso lo studio di un limite mediante l'utilizzo dell'uguaglianza y=mx da sostituire in f(x,y), cosicchè si abbia poi un semplice limite nella variabile x, condizionato al massimo dal parametro m? (ossia, se m appare nel risultato del limite significa che a seconda della direzione si hanno valori diversi e quindi il limite stesso non esiste, giusto?)
E, nel caso questo non sia rigoroso, quali sono le alternative? Per forza usare limiti notevoli (che non sempre sono immediati)? O c'è un qualche algoritmo/teorema/postulato/corollario/tradizione popolare/diceria/detto che mi possa aiutare?
Vi ringrazio molto per il tempo dedicatomi!
Risposte
"Starks":
Ciao a tutti!
Avrei qualche domanda da porvi a proposito dei limiti di f(x,y):
Può essere considerato rigoroso lo studio di un limite mediante l'utilizzo dell'uguaglianza y=mx da sostituire in f(x,y), cosicchè si abbia poi un semplice limite nella variabile x, condizionato al massimo dal parametro m? (ossia, se m appare nel risultato del limite significa che a seconda della direzione si hanno valori diversi e quindi il limite stesso non esiste, giusto?)
E, nel caso questo non sia rigoroso, quali sono le alternative? Per forza usare limiti notevoli (che non sempre sono immediati)? O c'è un qualche algoritmo/teorema/postulato/corollario/tradizione popolare/diceria/detto che mi possa aiutare?
Vi ringrazio molto per il tempo dedicatomi!
L'uso della restrizione di cui parli tu rappresenta una condizione SICURAMENTE SUFFICIENTE ad acclarare l'esistenza del limite. Infatti esistono infiniti valori di m tali che il limite, se esiste, ha il valore trovato nell'esercizio in questione.
Circa la rigorosita'... beh, non sempre è detto che sia applicabile, considera che in alcuni casi ad esempio è piu' lecito ricorrere alle coordinate polari per verificare l'esistenza del limite stesso.
Ergo... Il metodo da te menzionato è valido (ed abbastanza rigoroso, credo) nei casi in cui sia ragionevole applicarlo.
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