Limite di funzione. Tema esame
Questo esercizio è un tema d'esame. L'ho svolto ma non so se sia corretto. Verificare che è corretto per favore. Se c'è un errore scrivete pure, se invece dovrebbe risultare corretto scrivete solo "è corretto".
Calcolare \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+} \) [tex]e^{-2x}-\cos(2\sqrt{x})-\left( 4 \over 3 \right) \sin ({x}^{2}) \over {x}^{2}\ln (1+2x)[/tex]
SVOLGIMENTO
siccome la \(\displaystyle x\rightarrow0 \) sviluppo
[tex]e^{-2x} =1-2x+o(x)[/tex]
[tex]\cos (2\sqrt{x} )=1-\frac{(2\sqrt{x})^2}{2}+(x^2)=1-2x+o(x)[/tex]
[tex]\sin ({x}^{2})={x}^{2}+({x}^{2})[/tex]
[tex]\ln (1+2x)=2x+o(x)[/tex]
Ora vado a sostituire e ottengo
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+} \) [tex]1-2x+o(x)-1+2x+o(x)-\left( 4 \over 3 \right)( {x}^{2}+o({x}^{2}) \over {x}^{2}(2x+o(x))[/tex]\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{-\frac{4}{3}x^2+(x^2)}{2x^3+(x^3)}\sim\frac{-\frac{4}{3}x^2}{2x^3}=-\frac{2}{3x}\rightarrow-\infty\)
Calcolare \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+} \) [tex]e^{-2x}-\cos(2\sqrt{x})-\left( 4 \over 3 \right) \sin ({x}^{2}) \over {x}^{2}\ln (1+2x)[/tex]
SVOLGIMENTO
siccome la \(\displaystyle x\rightarrow0 \) sviluppo
[tex]e^{-2x} =1-2x+o(x)[/tex]
[tex]\cos (2\sqrt{x} )=1-\frac{(2\sqrt{x})^2}{2}+(x^2)=1-2x+o(x)[/tex]
[tex]\sin ({x}^{2})={x}^{2}+({x}^{2})[/tex]
[tex]\ln (1+2x)=2x+o(x)[/tex]
Ora vado a sostituire e ottengo
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+} \) [tex]1-2x+o(x)-1+2x+o(x)-\left( 4 \over 3 \right)( {x}^{2}+o({x}^{2}) \over {x}^{2}(2x+o(x))[/tex]\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{-\frac{4}{3}x^2+(x^2)}{2x^3+(x^3)}\sim\frac{-\frac{4}{3}x^2}{2x^3}=-\frac{2}{3x}\rightarrow-\infty\)
Risposte
Sbagli l'ultimo passaggio. Infatti a numeratore devi sviluppare maggiormente il coseno e l'esponenziale, perché l'$o(x)$ si "mangia" sia $x^2$ che $o(x^2)$ ed a numeratore ti resterebbe solo $o(x)$.
A me invece sembra tutto sbagliato! Infatti
$e^{-2x}-\cos(2\sqrt{x})-4/3\sin(x^2)=$
$=1-2x-2x^2-{4x^3}/3+o(x^3)-(1-2x+{2x^2}/3-{4x^3}/{45}+o(x^3))-4/3(x^2+o(x^3))=$
$=-{56 x^3}/{45}+o(x^3)$
ed avendosi anche $x^2\log(1+2x)\sim 2x^3$ il limite risulta pari a $-{28}/{45}$
$e^{-2x}-\cos(2\sqrt{x})-4/3\sin(x^2)=$
$=1-2x-2x^2-{4x^3}/3+o(x^3)-(1-2x+{2x^2}/3-{4x^3}/{45}+o(x^3))-4/3(x^2+o(x^3))=$
$=-{56 x^3}/{45}+o(x^3)$
ed avendosi anche $x^2\log(1+2x)\sim 2x^3$ il limite risulta pari a $-{28}/{45}$
o madonna allora qual è quello giusto? ditemi!
non capisco xkè tutti quei $=1-2x-2x^2-{4x^3}/3+o(x^3)$
lo sviluppo di \(\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \) se mi fermo qui, in questo esercizio è \(\displaystyle -2x \) per cui
\(\displaystyle e^{-2x}=1-2x+2x^2-\frac{4}{3}x^3+o(x^3) \)
tutto sta xkè dovevo sviluppare di più!:.ke palle!..è sono una deficiente.. \(\displaystyle o(x) \) si mangia \(\displaystyle o(x^2) \) per \(\displaystyle x\rightarrow0 \)
"ciampax":
A me invece sembra tutto sbagliato! Infatti
$e^{-2x}-\cos(2\sqrt{x})-4/3\sin(x^2)=$
$=1-2x-2x^2-{4x^3}/3+o(x^3)-(1-2x+{2x^2}/3-{4x^3}/{45}+o(x^3))-4/3(x^2+o(x^3))=$
$=-{56 x^3}/{45}+o(x^3)$
ed avendosi anche $x^2\log(1+2x)\sim 2x^3$ il limite risulta pari a $-{28}/{45}$
non capisco xkè tutti quei $=1-2x-2x^2-{4x^3}/3+o(x^3)$
lo sviluppo di \(\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \) se mi fermo qui, in questo esercizio è \(\displaystyle -2x \) per cui
\(\displaystyle e^{-2x}=1-2x+2x^2-\frac{4}{3}x^3+o(x^3) \)
tutto sta xkè dovevo sviluppare di più!:.ke palle!..è sono una deficiente.. \(\displaystyle o(x) \) si mangia \(\displaystyle o(x^2) \) per \(\displaystyle x\rightarrow0 \)
Sì.
il sì è perchè dovevo solamente sviluppare di pìù vero? basta fino all'\(\displaystyle x^3 \) quanto vedo.. cmq si sono solamene una cogliona.. \(\displaystyle o(x) \) si mangia \(\displaystyle o(x^2) \) per \(\displaystyle x\rightarrow0 \)
non c'è bisogno di offendersi così tanto xD!
Un trucco che, spesso e volentieri, noi professori sfruttiamo: di solito una delle due funzioni risulta più facile da sviluppare, pertanto, una volta sviluppata questa (nel tuo caso il denominatore, che ha ordine 3), procedi con lo sviluppo della parte più complicata almeno all'ordine $n+1$ (in questo caso $4$), con $n$ pari all'ordine di quella più semplice.
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