Limite di funzione pari/dispari

[tetravalenza]

Ciao, nel libro "Lezioni di Analisi Matematica I" di S. Lancelotti, ho trovato la seguente osservazione: "Siano $f: dom(f)\rightarrow R$ una funzione pari (oppure dispari) e $0$ un punto di accumulazione per $dom(f)$. Allora si ha che"
\[
f\hspace{0.3cm}pari \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^-}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 0^+}{f(x)}
\\
f\hspace{0.3cm}dipari \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^-}{f(x)}=-\lim_{x\rightarrow 0^+}{f(x)}
\]
Chiede per esercizio di dimostrarlo.
Se prendo la prima tesi e la definizione di limite laterale sinistro
\[
\forall U(l),\exists I^-(0):\forall x\in dom(f), x\in I^-(0)\Rightarrow f(-x)\in U(l)
\]
Posso a questo punto dire che anche $f(x)\in U(l)$ perché per ipotesi $f(-x)=f(x)$?
Nel libro l'osservazione viene fatta subito dopo i teoremi del confronto (dopo altre osservazioni sul Teorema dei due carabinieri), però non mi viene in mente nulla per poterli usare in questa dimostrazione.

[Mephlip]

Penso che vada aggiustato l'intorno $I$, usando la definizione $\varepsilon$-$\delta$ hai che: essendo per ipotesi $f(x) \to l$ per $x \to 0^-$ risulta che per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta_{\varepsilon}>0$ tale che se $-\delta_{\varepsilon}0$ esiste $\delta_{\varepsilon}>0$ tale che se $-\delta_{\varepsilon}<-x<0$ allora $|f(-x)-l|<\varepsilon$.
Ma $-\delta_{\varepsilon}<-x<0\Leftrightarrow 00$ esiste $\delta_{\varepsilon}>0$ tale che se $0 In sostanza devi arrivare anche ad $I^+(0)$.
Similmente con la dispari.

[tetravalenza]

OK grazie.