Limite di funzione irrazionale
Ciao a tutti,
non riesco a capire un passaggio di un limite probabilmente a causa di qualche mia lacuna in algebra:
$\lim_{x \to \infty}(sqrt{x^2+5x+6})/x$
l'eserciziario mi dice che devo mettere in evidenza $x^2$ all'interno della radice e poi portarla fuori, così
$\lim_{x \to \infty}(sqrt{x^2(1+5/x+6/(x^2))})/x$ -----> $\lim_{x \to \infty}(sqrt{x^2}*sqrt{1+5/x+6/(x^2)})/x$ -----> $\lim_{x \to \infty}(|x|*sqrt{1+5/x+6/(x^2)})/x$
e che quindi con $x->infty$ il limite assume valore 1 e con $x->-infty$ assume -1. Fino a qui ci siamo: $x^2$ ha 2 radici, una +x e l'altra -x, il tutto sintetizzabile con la funzione modulo. Ma in un passaggio successivo dello studio dei limiti leggo nell'eserciziario questa trasformazione
$\lim_{x \to \+infty}(5x+6)/(sqrt{x^2+5x+6}+x)$ -----> $\lim_{x \to \+infty}(5x+6)/(x*(sqrt{1+(5/x)+(6/x^2)}+1))$
$\lim_{x \to \-infty}(5x+6)/(sqrt{x^2+5x+6}-x)$ -----> $\lim_{x \to \-infty}(5x+6)/(-x*(sqrt{1+(5/x)+(6/x^2)}+1))$
ma che è successo (non capisco poichè non c'è il passaggio intermedio come sopra)? E' stato messo in evidenza un modulo (si può davvero fare e se si, come)? O dipende dal segno del limite ($+infty$ o $-infty$)?
Non so se mi sono spiegato correttamente, ma penso che ci sia qualche mio errore di interpretazione con le radici...
non riesco a capire un passaggio di un limite probabilmente a causa di qualche mia lacuna in algebra:
$\lim_{x \to \infty}(sqrt{x^2+5x+6})/x$
l'eserciziario mi dice che devo mettere in evidenza $x^2$ all'interno della radice e poi portarla fuori, così
$\lim_{x \to \infty}(sqrt{x^2(1+5/x+6/(x^2))})/x$ -----> $\lim_{x \to \infty}(sqrt{x^2}*sqrt{1+5/x+6/(x^2)})/x$ -----> $\lim_{x \to \infty}(|x|*sqrt{1+5/x+6/(x^2)})/x$
e che quindi con $x->infty$ il limite assume valore 1 e con $x->-infty$ assume -1. Fino a qui ci siamo: $x^2$ ha 2 radici, una +x e l'altra -x, il tutto sintetizzabile con la funzione modulo. Ma in un passaggio successivo dello studio dei limiti leggo nell'eserciziario questa trasformazione
$\lim_{x \to \+infty}(5x+6)/(sqrt{x^2+5x+6}+x)$ -----> $\lim_{x \to \+infty}(5x+6)/(x*(sqrt{1+(5/x)+(6/x^2)}+1))$
$\lim_{x \to \-infty}(5x+6)/(sqrt{x^2+5x+6}-x)$ -----> $\lim_{x \to \-infty}(5x+6)/(-x*(sqrt{1+(5/x)+(6/x^2)}+1))$
ma che è successo (non capisco poichè non c'è il passaggio intermedio come sopra)? E' stato messo in evidenza un modulo (si può davvero fare e se si, come)? O dipende dal segno del limite ($+infty$ o $-infty$)?
Non so se mi sono spiegato correttamente, ma penso che ci sia qualche mio errore di interpretazione con le radici...
Risposte
"Kristian0":
$\lim_{x \to \infty}(sqrt{x^2+5x+6})/x$
l'eserciziario mi dice che devo mettere in evidenza $x^2$ all'interno della radice e poi portarla fuori, così
$\lim_{x \to \infty}(sqrt{x^2(1+5/x+6/(x^2))})/x$ -----> $\lim_{x \to \infty}(sqrt{x^2}*sqrt{1+5/x+6/(x^2)})/x$ -----> $\lim_{x \to \infty}(|x|*sqrt{1+5/x+6/(x^2)})/x$
e che quindi con $x->infty$ il limite assume valore 1 e con $x->-infty$ assume -1. Fino a qui ci siamo: $x^2$ ha 2 radici, una +x e l'altra -x, il tutto sintetizzabile con la funzione modulo.
E' corretto.
"Kristian0":
Ma in un passaggio successivo dello studio dei limiti leggo nell'eserciziario questa trasformazione
$\lim_{x \to \+infty}(5x+6)/(sqrt{x^2+5x+6}+x)$ -----> $\lim_{x \to \+infty}(5x+6)/(x*(sqrt{1+(5/x)+(6/x^2)}+1))$
$\lim_{x \to \-infty}(5x+6)/(sqrt{x^2+5x+6}-x)$ -----> $\lim_{x \to \-infty}(5x+6)/(-x*(sqrt{1+(5/x)+(6/x^2)}+1))$
ma che è successo (non capisco poichè non c'è il passaggio intermedio come sopra)? E' stato messo in evidenza un modulo (si può davvero fare e se si, come)? O dipende dal segno del limite ($+infty$ o $-infty$)?
$\lim_{x \to \+- infty} (5x+6)/(sqrt{x^2+5x+6}+x) = \lim_{x \to \+- infty}(5x+6)/(|x| (sqrt{1+(5/x)+(6/x^2)}+1))$
da cui vengono fuori i due casi (per $x -> +oo$ e per $x -> -oo$ ), spezzando il valore assoluto.
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