Limite di funzione integrale con estremi variabili
Qualcuno mi potrebbe confermare che questo limite non esiste?
Non sono sicuro del risultato e non ho le soluzioni!
$ lim_(x -> +oo) [x*int_(x^4)^((x+1)^4) (2-sint)/(1+t)dt ] $
Non sono sicuro del risultato e non ho le soluzioni!
$ lim_(x -> +oo) [x*int_(x^4)^((x+1)^4) (2-sint)/(1+t)dt ] $
Risposte
Ad esempio, prendi [tex]$f(x):=\tfrac{1}{x} \left( \sin (x+1)^2- \sin x^2\right)$[/tex]; questo non è un infinitesimo d'ordine uno in [tex]$+\infty$[/tex]: infatti [tex]$x\ f(x)$[/tex] non ha limite in [tex]$+\infty$[/tex].
E questo non potrebbe essere più chiaro! Il problema è che non è la stessa situazione che si presenta nel limite!
Penso che andrò a cercare quel maledetto esercitatore!
Penso che andrò a cercare quel maledetto esercitatore!
Nel limite hai una cosa del tipo:
[tex]$x^2\ \phi^\prime (x)= x\big( \alpha(x) \sin (x+1)^4 -\beta (x) \sin x^4\big) +\text{o}(1)$[/tex],
con [tex]$\alpha (x),\beta (x)\to l>0$[/tex] (mi sembra [tex]$l=4$[/tex], ma non trovo i conti che avevo fatto ieri notte) quando [tex]$x\to +\infty$[/tex], quindi ci si deve andare coi piedi di piombo; però sono pressoché certo che il [tex]$\lim_{x\to +\infty} x^2\ \phi^\prime (x)$[/tex] non esista, perchè il termine tra parentesi oscilla.
[tex]$x^2\ \phi^\prime (x)= x\big( \alpha(x) \sin (x+1)^4 -\beta (x) \sin x^4\big) +\text{o}(1)$[/tex],
con [tex]$\alpha (x),\beta (x)\to l>0$[/tex] (mi sembra [tex]$l=4$[/tex], ma non trovo i conti che avevo fatto ieri notte) quando [tex]$x\to +\infty$[/tex], quindi ci si deve andare coi piedi di piombo; però sono pressoché certo che il [tex]$\lim_{x\to +\infty} x^2\ \phi^\prime (x)$[/tex] non esista, perchè il termine tra parentesi oscilla.
Forse hai ragione, me ne sto convincendo. Comunque io raccogliendo il 4 ho:
$ 4x(sin(x+1)^4(1+3/x+1/x^4+3/x^5)-sinx^4(1+4/x+1/x^4)) $
Mi correggo per la seconda volta, noto che stupidamente non avevo pensato che in effetti il limite di $xsinx$ non esiste! XD
Ok, dovrei aver capito!
$ 4x(sin(x+1)^4(1+3/x+1/x^4+3/x^5)-sinx^4(1+4/x+1/x^4)) $
Mi correggo per la seconda volta, noto che stupidamente non avevo pensato che in effetti il limite di $xsinx$ non esiste! XD
Ok, dovrei aver capito!
Premetto che ho passato almeno 2 ore a cercare qualcosa che non va nella soluzione di Gugo, e non l'ho trovata. Oggi la mia prof mi ha risolto l'esercizio e ha concluso che il limite non esiste per $alpha=1$. Ho anche un dubbio riguardo a ciò, quindi scrivo qua la soluzione:
siccome la funzione integranda è continua per $t$ abbastanza grande è anche integrabile secondo Riemann in ogni intervallo $I=[x^4,(x+1)^4]$, quindi per il teorema della media esiste $eta in I$ tale che $int_(x^4)^((x+1)^4) (2-sin(t))/(1+t) dt = (4x^3+6x^2+4x+1)(2-sin(eta))/(1+eta)$.
Poichè $x^4+oo$ si ha $1 1$, quindi $eta$ è asintotico a $x^4$.
Da cui $lim_(x->+oo) [x int_(x^4)^((x+1)^4) (2-sin(t))/(1+t) dt]=lim_(x->+oo)[x(4x^3+6x^2+4x+1)(2-sin(x^4))/(1+x^4)]$, che non esiste.
Solo che quell'uguale mi puzza un po', magari si poteva giustificare con considerazioni che non ho colto, ma non credo.
Il mio dubbio è proprio riguardo a quella sostituzione, e al fatto che non trovo qualcosa di sbagliato nella soluzione di Gugo!
Vi prego aiutatemi!
siccome la funzione integranda è continua per $t$ abbastanza grande è anche integrabile secondo Riemann in ogni intervallo $I=[x^4,(x+1)^4]$, quindi per il teorema della media esiste $eta in I$ tale che $int_(x^4)^((x+1)^4) (2-sin(t))/(1+t) dt = (4x^3+6x^2+4x+1)(2-sin(eta))/(1+eta)$.
Poichè $x^4
Da cui $lim_(x->+oo) [x int_(x^4)^((x+1)^4) (2-sin(t))/(1+t) dt]=lim_(x->+oo)[x(4x^3+6x^2+4x+1)(2-sin(x^4))/(1+x^4)]$, che non esiste.
Solo che quell'uguale mi puzza un po', magari si poteva giustificare con considerazioni che non ho colto, ma non credo.
Il mio dubbio è proprio riguardo a quella sostituzione, e al fatto che non trovo qualcosa di sbagliato nella soluzione di Gugo!
Vi prego aiutatemi!
Io credo che la mia soluzione sia giusta, come mostra il grafico seguente:
ove è diagrammata la funzione [tex]x\phi (x):= x\int_{x^4}^{(x+1)^4} \frac{2-\sin t}{1+t}\ \text{d} t[/tex] per [tex]$x\in [1,100]$[/tex].
Come si vede, l'andamento è asintotico ad [tex]$8$[/tex], come previsto dai conti; quello che non si vede è che le oscillazioni dovute alla funzione integrale sono più evidenti per [tex]$x$[/tex] piccoli, come mostra la figura che segue:
ove è diagrammata la funzione [tex]$x\phi (x)$[/tex] per [tex]$x\in [1,3]$[/tex].
Il problema della soluzione proposta in aula, secondo me, è che si sostituisce [tex]$\eta$[/tex] con [tex]$x^4$[/tex] senza porsi troppi problemi.
Ciò, secondo me, non è del tutto lecito: ad esempio, se [tex]$x=\sqrt[4]{2\pi n}$[/tex] ed [tex]$\eta =\tfrac{\pi}{2} +2\pi n$[/tex] (con [tex]$n\geq 1$[/tex]), allora per [tex]$n$[/tex] sufficientemente grande si ha [tex]$\eta \in [x^4, (x+1)^4]$[/tex] e pure [tex]$\tfrac{\eta}{x^4} \to 1$[/tex], però [tex]$\sin \eta =1\neq 0 =\sin x^4$[/tex] quindi non è lecito rimpiazzare [tex]$\sin \eta$[/tex] con [tex]$\sin x^4$[/tex].
Detta un po' meglio, il problema è che l'ampiezza dell'intervallo d'integrazione aumenta indefinitamente (perchè [tex]$(x+1)^4-x^4\approx 4x^3$[/tex]): conseguentemente, il punto [tex]$\eta$[/tex] non è tenuto a stare vicino a [tex]$x^4$[/tex], anzi [tex]$\eta$[/tex] può stare un po' dove vuole lui, anche molto lontano da [tex]$x^4$[/tex], nonostante valga l'equivalenza asintotica [tex]$\eta \approx x^4$[/tex].
Però prendila cum grano salis.
Ti consiglio di mostrare la mia soluzione alla tua prof e farti dire che ne pensa.
P.S.: E poi, come detto, il risultato di quel limite è troppo bello per non essere vero!
ove è diagrammata la funzione [tex]x\phi (x):= x\int_{x^4}^{(x+1)^4} \frac{2-\sin t}{1+t}\ \text{d} t[/tex] per [tex]$x\in [1,100]$[/tex].
Come si vede, l'andamento è asintotico ad [tex]$8$[/tex], come previsto dai conti; quello che non si vede è che le oscillazioni dovute alla funzione integrale sono più evidenti per [tex]$x$[/tex] piccoli, come mostra la figura che segue:
ove è diagrammata la funzione [tex]$x\phi (x)$[/tex] per [tex]$x\in [1,3]$[/tex].
Il problema della soluzione proposta in aula, secondo me, è che si sostituisce [tex]$\eta$[/tex] con [tex]$x^4$[/tex] senza porsi troppi problemi.
Ciò, secondo me, non è del tutto lecito: ad esempio, se [tex]$x=\sqrt[4]{2\pi n}$[/tex] ed [tex]$\eta =\tfrac{\pi}{2} +2\pi n$[/tex] (con [tex]$n\geq 1$[/tex]), allora per [tex]$n$[/tex] sufficientemente grande si ha [tex]$\eta \in [x^4, (x+1)^4]$[/tex] e pure [tex]$\tfrac{\eta}{x^4} \to 1$[/tex], però [tex]$\sin \eta =1\neq 0 =\sin x^4$[/tex] quindi non è lecito rimpiazzare [tex]$\sin \eta$[/tex] con [tex]$\sin x^4$[/tex].
Detta un po' meglio, il problema è che l'ampiezza dell'intervallo d'integrazione aumenta indefinitamente (perchè [tex]$(x+1)^4-x^4\approx 4x^3$[/tex]): conseguentemente, il punto [tex]$\eta$[/tex] non è tenuto a stare vicino a [tex]$x^4$[/tex], anzi [tex]$\eta$[/tex] può stare un po' dove vuole lui, anche molto lontano da [tex]$x^4$[/tex], nonostante valga l'equivalenza asintotica [tex]$\eta \approx x^4$[/tex].
Però prendila cum grano salis.
Ti consiglio di mostrare la mia soluzione alla tua prof e farti dire che ne pensa.
P.S.: E poi, come detto, il risultato di quel limite è troppo bello per non essere vero!
E' quello che farò!
Però voglio anche avere il programma che hai usato, me lo potresti dire?
Però voglio anche avere il programma che hai usato, me lo potresti dire?
Mathematica di Wolfram (ma ne ho un'edizione vecchiotta, la 5).
Ok ho Mathematica! Però non so che funzioni usare per provare a disegnarla!
Che comandi posso usare? Con Plot[ Integrate[ f(t), {t,x^4,(x+1)^4}], {x,0,100}] non funziona, come faccio?
Che comandi posso usare? Con Plot[ Integrate[ f(t), {t,x^4,(x+1)^4}], {x,0,100}] non funziona, come faccio?
A me funziona.
Il codice è il seguente:
Ma la prof. che ne pensa, allora?
Il codice è il seguente:
Plot[x Integrate[(2-Sin[t])/(1+t), {t,x^4, (x+1)^4}], {x,1,100}, PlotRange->All]Ma la prof. che ne pensa, allora?
Ce l'ho fatta, grazie! Oggi volevo accennarle a voce la tua soluzione ma non ne ha voluto sapere, mi ha detto di scriverla su un foglio e di fargliela avere. Ti faccio sapere lunedì!
Ps: io sono dalla tua parte
Ps: io sono dalla tua parte
La prof conferma, quel limite fa 8!
Ha detto che il problema nella sua soluzione è che avendo due funzioni infinite, siano $alpha$ e $beta$, con $alpha approx beta$ (simbolo asintotico, il codice giusto qual'è?) non è detto che $sin(alpha) approx sin(beta)$.
Ha detto che la cosa salta nel momento in cui si ha a che fare con funzioni infinite, se fossero state infinitesime il problema non si sarebbe presentato e sarebbe stato giusto scrivere $sin(alpha) approx sin(beta)$.
Ha detto che il problema nella sua soluzione è che avendo due funzioni infinite, siano $alpha$ e $beta$, con $alpha approx beta$ (simbolo asintotico, il codice giusto qual'è?) non è detto che $sin(alpha) approx sin(beta)$.
Ha detto che la cosa salta nel momento in cui si ha a che fare con funzioni infinite, se fossero state infinitesime il problema non si sarebbe presentato e sarebbe stato giusto scrivere $sin(alpha) approx sin(beta)$.
Ok! 
(Tra l'altro, quello è proprio il problema che avevo segnalato anch'io.)
(Tra l'altro, quello è proprio il problema che avevo segnalato anch'io.)
gugo 82, non ho seguito molto la discussione, ma devo assolutamente farti i complimenti. 
"speculor":
gugo 82, non ho seguito molto la discussione, ma devo assolutamente farti i complimenti.
Grazie.
Sai com'è, quando ho visto che il teorema del marchese non funzionava, mi sono incaponito... E mi ha detto bene!
[size=120]\( x\int_{x^{4}}^{(x+1)^{4}}\frac{2}{1+t}dt=2x\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)^{4}=8\ln\left(x+\frac{1}{x}\right)^{x}\)[/size]
[size=152]\( \lim_{x\rightarrow \infty}x\int_{x^{4}}^{(x+1)^{4}}\frac{2}{1+t}dt=8\)[/size]
L'integrale [size=120]\( \int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(t\right)}{1+t}dt\)[/size] è convergente quindi:
[size=120]\( \lim_{x\rightarrow \infty}\int_{x^{4}}^{\left(1+x\right)^{4}}\frac{\sin\left(t\right)}{1+t}dt=0\)[/size]
Applica do De L'Hospital:
[size=120]\( \lim_{x\rightarrow \infty}x\int_{x^{4}}^{\left(1+x\right)^{4}}\frac{\sin\left(t\right)}{1+t}dt=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\int_{x^{4}}^{\left(1+x\right)^{4}}\frac{\sin\left(t\right)}{1+t}dt}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{\sin\left(1+x\right)^{4}}{1+\left(1+x\right)^{4}}-\frac{\sin(x^{4})}{1+x^{4}}}{-\frac{1}{x^{2}}}\)[/size]
[size=120]
\( = \lim_{x\rightarrow \infty}\left[\frac{x^{2}\sin(x^{4})}{1+x^{4}}-\frac{x^{2}\sin\left(1+x\right)^{4}}{1+\left(1+x\right)^{4}}\right]=0\)[/size]
In definitiva:
[size=120]\( \lim_{x\rightarrow}x\int_{x^{4}}^{(1+x)^{4}}\frac{2-\sin(t)}{1+t}=8 \)[/size]
[size=152]\( \lim_{x\rightarrow \infty}x\int_{x^{4}}^{(x+1)^{4}}\frac{2}{1+t}dt=8\)[/size]
L'integrale [size=120]\( \int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(t\right)}{1+t}dt\)[/size] è convergente quindi:
[size=120]\( \lim_{x\rightarrow \infty}\int_{x^{4}}^{\left(1+x\right)^{4}}\frac{\sin\left(t\right)}{1+t}dt=0\)[/size]
Applica do De L'Hospital:
[size=120]\( \lim_{x\rightarrow \infty}x\int_{x^{4}}^{\left(1+x\right)^{4}}\frac{\sin\left(t\right)}{1+t}dt=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\int_{x^{4}}^{\left(1+x\right)^{4}}\frac{\sin\left(t\right)}{1+t}dt}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{\sin\left(1+x\right)^{4}}{1+\left(1+x\right)^{4}}-\frac{\sin(x^{4})}{1+x^{4}}}{-\frac{1}{x^{2}}}\)[/size]
[size=120]
\( = \lim_{x\rightarrow \infty}\left[\frac{x^{2}\sin(x^{4})}{1+x^{4}}-\frac{x^{2}\sin\left(1+x\right)^{4}}{1+\left(1+x\right)^{4}}\right]=0\)[/size]
In definitiva:
[size=120]\( \lim_{x\rightarrow}x\int_{x^{4}}^{(1+x)^{4}}\frac{2-\sin(t)}{1+t}=8 \)[/size]
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