Limite di funzione integrale, come ci si comporta ?
Ciao ragazzi, stasera mentre sfogliavo i vecchi compiti di analisi sul sito del mio prof, ho visto un limite che mi ha lasciato un po' perplesso:
$ lim_(x -> 0+) 1/(root(3)(1+x^3) -1) int_(0)^(x) (t^2 log(1 + t^2) - (e^(t^4) -1))/arctan (t^4) dt $
ma... come si impostano questi esercizi ? E poi, ma l'integrale va da 0 a 0 ?
Gentilmente, potrei avere solo qualche delucidazione su come impostare questo limite ?
P.S. come faccio a formattare il simbolo dell'integrale per renderlo più "lungo" in modo che sia grande come la funzione?
$ lim_(x -> 0+) 1/(root(3)(1+x^3) -1) int_(0)^(x) (t^2 log(1 + t^2) - (e^(t^4) -1))/arctan (t^4) dt $
ma... come si impostano questi esercizi ? E poi, ma l'integrale va da 0 a 0 ?
Gentilmente, potrei avere solo qualche delucidazione su come impostare questo limite ?
P.S. come faccio a formattare il simbolo dell'integrale per renderlo più "lungo" in modo che sia grande come la funzione?
Risposte
$F(x)=\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt$ $F'(x)=f(g(x))*g'(x)-f(h(x))*h'(x)$
(è Una formula da imparare se ti chiedono nel compito dei limiti di integrali
)
$\lim_{x \to \0}1/((1 + x^3)^(1/3) - 1)*\int_{0}^{x}(t^2*log(1 + t^2)-(e^t^4-1))/arctan(t^4) dx = \lim_{n \to \0}1/((1 + x^3)^(1/3) - 1)*(x^2*log(1 + x^2)-(e^x^4-1))/arctan(x^4) dx$ In pratica sono andato a sostituire le $t$ con le $x$ (come detto prima, mentre, se per esempo la $g(x)$ invece che essere $x$ fosse stata $x^2$ avrei sostituito $t$ con $x^2$) e poi ho moltiplicato con la derivata di $x$ che è $1$; dato che la derivata di $0$ è $0$ non tengo nemmeno in considerazione la parte relativa all'$h(x)$ dato che verrebbe moltiplicata per $0$)
Uso Gli sviluppi di taylor per il logaritmo, l'esponenziale e l'arcotangente $(log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3 , e^x=1+x+x^2/(2!)+x^3/(3!)+x^4/(4!) , arctan(x)=x-x^3/3)$ e quindi mi risulterà:
$\lim_{x \to \0}1/((1+x^3)^(1/3)-1)*(((x^4-(x^8)/2)-(1+x^4+(x^8)/21))/(x^4))$
Ora risolvo il limite e tenendo conto che che $((1+x^3)^(1/3)-1)$ lo razionalizzi e viene $(3-sqrt(2))/x^3)$
il limite risulterà $0$ in quanto si semplificherà tutto e rimarrà solo una x al numeratore per un numero diviso 1
Spero ti sia tutto chiaro.
Ciao!!
P.S. grazie mille per avermi linkato la pagina con l'utilizzo delle formule, risulta molto piu comprensibile cosi
(è Una formula da imparare se ti chiedono nel compito dei limiti di integrali
)$\lim_{x \to \0}1/((1 + x^3)^(1/3) - 1)*\int_{0}^{x}(t^2*log(1 + t^2)-(e^t^4-1))/arctan(t^4) dx = \lim_{n \to \0}1/((1 + x^3)^(1/3) - 1)*(x^2*log(1 + x^2)-(e^x^4-1))/arctan(x^4) dx$ In pratica sono andato a sostituire le $t$ con le $x$ (come detto prima, mentre, se per esempo la $g(x)$ invece che essere $x$ fosse stata $x^2$ avrei sostituito $t$ con $x^2$) e poi ho moltiplicato con la derivata di $x$ che è $1$; dato che la derivata di $0$ è $0$ non tengo nemmeno in considerazione la parte relativa all'$h(x)$ dato che verrebbe moltiplicata per $0$)
Uso Gli sviluppi di taylor per il logaritmo, l'esponenziale e l'arcotangente $(log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3 , e^x=1+x+x^2/(2!)+x^3/(3!)+x^4/(4!) , arctan(x)=x-x^3/3)$ e quindi mi risulterà:
$\lim_{x \to \0}1/((1+x^3)^(1/3)-1)*(((x^4-(x^8)/2)-(1+x^4+(x^8)/21))/(x^4))$
Ora risolvo il limite e tenendo conto che che $((1+x^3)^(1/3)-1)$ lo razionalizzi e viene $(3-sqrt(2))/x^3)$
il limite risulterà $0$ in quanto si semplificherà tutto e rimarrà solo una x al numeratore per un numero diviso 1
Spero ti sia tutto chiaro.
Ciao!!
P.S. grazie mille per avermi linkato la pagina con l'utilizzo delle formule, risulta molto piu comprensibile cosi
dimenticavo l'integrale va da 0 a x non da 0 a 0 
Ciao manzo, benvenuto nel forum. Usa per favore una scrittura appropriata per le formule (clic per istruzioni) in quanto così come le hai lasciate sono praticamente illeggibili. Adopera il pulsante "MODIFICA" che trovi in alto a destra nei tuoi post per correggere. Grazie.
"dissonance":
Ciao manzo, benvenuto nel forum. Usa per favore una scrittura appropriata per le formule (clic per istruzioni) in quanto così come le hai lasciate sono praticamente illeggibili. Adopera il pulsante "MODIFICA" che trovi in alto a destra nei tuoi post per correggere. Grazie.
In effetti se tu potessi correggere la sintassi non sarebbe una cattiva idea... io intanto sto cercando di capire...
Comunque ti ringrazio per la risposta !
Intanto, osservi facilmente che per $x->0$ l'integrale tende banalmente a $0$ (visto che va da $0$ a $0$). Il denominatore del primo fattore tende anche lui a $0$ dunque è una forma indeterminata del tipo $[0/0]$...ci viene in aiuto un certo de l'Hopital in questi casi e dice che...
scusatemi, non sapevo come si facessero a mettere le formule, grazie mille per il suggerimento...modifico subito
[quote=manzo89]$F(x)=\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt$ $F'(x)=f(g(x))*g'(x)-f(h(x))*h'(x)$
(è Una formula da imparare se ti chiedono nel compito dei limiti di integrali )
quote]
ciao manzo posso chiederti se la formula che hai postato qua sopra vale anche se devo calcolare il limite di un integrale da x(un valore qualsiasi) a + infinito? se si a parole che non mi capisco più con le formule
sarebbe: funzione integrata = [integrale(non calcolato) di g(x)] per [derivata dell'integrale (sempre quello sotto il simbolo integrale)] - stessa cosa per h(x)? e poi calcolo il limite del risultato? e in caso sarebbe uguale fare prima l'integrazione della funzione e poi la differenza sostituendo prima x con g(x) e poi con h(x)?
grazie
ps. in caso avresti un esempio semplice giusto per chiarire i passaggi?
(è Una formula da imparare se ti chiedono nel compito dei limiti di integrali
)quote]
ciao manzo posso chiederti se la formula che hai postato qua sopra vale anche se devo calcolare il limite di un integrale da x(un valore qualsiasi) a + infinito? se si a parole che non mi capisco più con le formule
sarebbe: funzione integrata = [integrale(non calcolato) di g(x)] per [derivata dell'integrale (sempre quello sotto il simbolo integrale)] - stessa cosa per h(x)? e poi calcolo il limite del risultato? e in caso sarebbe uguale fare prima l'integrazione della funzione e poi la differenza sostituendo prima x con g(x) e poi con h(x)?grazie
ps. in caso avresti un esempio semplice giusto per chiarire i passaggi?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo