Limite di funzione in due variabili: $\lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{x sin (y^2)}{x^2+y^2}$

[xavio310]

Salve! Potreste aiutarmi nella risoluzione del seguente limite
$$\lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{x sin (y^2)}{x^2+y^2}$$
Ho provato a svolgere sfruttando il limite notevole del seno e utilizzando il passaggio a coordinate polare ma così facendo ottengo zero come risultato quanto invece il limite dovrebbe non esistere. Cioè
$$\lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{x sin (y^2)}{x^2+y^2}=\lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{x y^2}{x^2+y^2} \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{sin (y^2)}{y^2}=0 \cdot 1 =0$$
Perché è sbagliato?

[Bremen000]

Secondo me esiste, fa $0$ e il tuo svolgimento va bene.

[xavio310]

Ciao Bremen =) Ho provato a verificare con Wolfram e ottengo il seguente risultato



?

[Bremen000]

Se ti fidi più del malefico calcolatore che di te stesso non so che fare! Puoi inoltre considerare che,
posto $f(x,y) := \frac{x\sin(y^2)}{x^2+y^2}$ , poiché $sin(x) < x \quad \forall x>0$, vale

$|f(x,y) | < \frac{|x|y^2}{x^2+y^2} \quad \forall (x,y) \in RR^2 \setminus \{(0,0)\}$

e dunque

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} |f(x,y)| <= \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{|x|y^2}{x^2+y^2} =0$

da cui il tuo limite fa $0$.

Nota che nell'immagine che hai messo si parla di numeri complessi che qua non c'entrano nulla.