Limite di funzione in due variabili
Ciao, non ho capito una cosa sulla risoluzione di questo esercizio:
alla fine il mio libro riporta:
"poichè |f(x,y)| è compreso tra 0 e2p, la funzione è arbitrariamente vicina a zero quando p, cioè la distanza tra (x,y) e (0,0), è sufficientemente piccolo. Ne segue che il limite di f è 0, proprio per definizione di limite."
ecco cosa non mi è chiaro.
- essendo p, per definizione (se non ho capito male), la distanza tra (x,y) e (0,0), perchè |f(x,y)| è compreso tra 0 e 2p?
- la maggiorazione, in base a cosa la decido?
ciao e grazie in anticipo
alla fine il mio libro riporta:
"poichè |f(x,y)| è compreso tra 0 e2p, la funzione è arbitrariamente vicina a zero quando p, cioè la distanza tra (x,y) e (0,0), è sufficientemente piccolo. Ne segue che il limite di f è 0, proprio per definizione di limite."
ecco cosa non mi è chiaro.
- essendo p, per definizione (se non ho capito male), la distanza tra (x,y) e (0,0), perchè |f(x,y)| è compreso tra 0 e 2p?
- la maggiorazione, in base a cosa la decido?
ciao e grazie in anticipo
Risposte
Dato che seno e coseno sono limitate fra $-1$ e $1$, allora $|\cos^2(\theta) \sin(\theta)| \le 1$ per ogni $\theta$. Di conseguenza risulta $2 \rho |\cos^2(\theta) \sin(\theta)| \le 2 \rho$ per ogni $\theta$.
grazie mille!!!
ho provato ad applicare lo stesso procedimento anche con questa funzione e non mi trovo...
non sono sicuro di aver fatto giusto... e non so come continuare!
ho provato ad applicare lo stesso procedimento anche con questa funzione e non mi trovo...
non sono sicuro di aver fatto giusto... e non so come continuare!
Riscrivi il limite così
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (\frac{\sin(xy)}{xy})^2 \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}$
Dato che
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (\frac{\sin(xy)}{xy})^2$
e
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}$
esistono finiti (il primo è un limite notevole, il secondo si calcola andando in coordinate polari e usando la solita maggiorazione), allora il prodotto dei limiti è uguale al limite del prodotto.
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (\frac{\sin(xy)}{xy})^2 \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}$
Dato che
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (\frac{\sin(xy)}{xy})^2$
e
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}$
esistono finiti (il primo è un limite notevole, il secondo si calcola andando in coordinate polari e usando la solita maggiorazione), allora il prodotto dei limiti è uguale al limite del prodotto.
il primo è uguale a 0? ma il denominatore non tende a 0 più velocemente del numeratore?
No, è un limite notevole, e fa $1$.
argh ho fattto macello scusate
Ho moltiplicato e diviso per $x^2 y^2$.
e non dovrebbe essere così: $\lim_{(x,y) \to (0,0)} (\frac{\sin(xy)}{x^2y^2})^2 \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}$ ?
No, perché in questo caso avresti moltiplicato l'argomento del limite per $\frac{x^2 y^2}{(x^2 y^2)^2} = \frac{1}{x^2 y^2}$, che è diverso da $1$.
eh?
scusa... ma se all'inizio il numeratore era sin^2(xy), e il denominatore era $x^2 + y^2$, com'è possibile che moltiplicando e dividendo per $x^2y^2$, $x^2 + y^2$ ce lo troviamo senza alcuna variazione, mentre sopra c'è $x^2y^2$, e nell'altro il $x^2y^2$ ha perso i quadrati?
scusa... ma se all'inizio il numeratore era sin^2(xy), e il denominatore era $x^2 + y^2$, com'è possibile che moltiplicando e dividendo per $x^2y^2$, $x^2 + y^2$ ce lo troviamo senza alcuna variazione, mentre sopra c'è $x^2y^2$, e nell'altro il $x^2y^2$ ha perso i quadrati?
ARGH, forse ho capito dove non ci intendiamo... nella tua espressione il quadrato si riferisce a tutto il primo fattore???
Ma nessuno ha 'perso i quadrati'... Vabo', faccio tutti i passaggi:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin^2(xy)}{x^2 + y^2} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin^2(xy)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2 y^2}{x^2 y^2} =$
$ = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin^2(xy)}{x^2 y^2} \cdot \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} (\frac{\sin(xy)}{xy})^2 \cdot \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}$
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin^2(xy)}{x^2 + y^2} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin^2(xy)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2 y^2}{x^2 y^2} =$
$ = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin^2(xy)}{x^2 y^2} \cdot \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} (\frac{\sin(xy)}{xy})^2 \cdot \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}$
"t_student":
ARGH, forse ho capito dove non ci intendiamo... nella tua espressione il quadrato si riferisce a tutto il primo fattore???
Prima di postare non avevo letto questo messaggio... comunque sì.
ok!!! grazie mille e scusami per il fraintendimento!!!
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