Limite di funzione in due variabili

[JimmyBrighy]

Buonaseraa

Ho un problema con il calcolo dei limiti agli estremi del dominio di una funzione definita implicitamente dalla forma:

\[ e^{x-y}-y-4x+1=0 \]

Ora, so che l'implicita esiste ecc ecc, è definita in tutto $RR$. In generale i limiti agli estremi del dominio li calcolo fissando una "quota" $y'$:
per $x \rightarrow \pm \infty$ ho:
\[ \lim_{x \rightarrow \pm \infty} e^{x-y'}-y'-4x+1=+ \infty \]

Quindi, preso un intorno di $\pm \infty$ so che per ogni $x$ in quell'intorno $F(x, y')>0=F(x, f(x))$, il che vuol dire che $f(x) \[ \lim_{x\rightarrow \pm \infty} f(x) = - \infty \]

Il problema è che così non è, plottando la funzione vedo che tente a $+\infty$ sia a destra che a sinistra quindi, dove sbaglio?

[pilloeffe]

Ciao JimmyBrighy,

"JimmyBrighy":per $x \to \pm \infty $ ho:

$ \lim_{x \to \pm \infty} e^{x-y'}-y'-4x+1 = +\infty $

Questa è corretta.

"JimmyBrighy":Quindi, preso un intorno di $ \pm \infty $

Non esiste un intorno di $ \pm \infty $: o l'intorno è di $+\infty $ o è di $-\infty $ e le definizioni cambiano...

[JimmyBrighy]

Grazie della risposta!
Intendevo che i risultati sia per $+ \infty$ che per $- \infty$ mi risultavano uguali.
Se considero i singoli casi (prendo ad esempio $+ \infty$):
In un intorno di $+ \infty$, quindi $U(M, \delta)$ con $M$ grande a piacere ho che $AA x \in U$ $F(x,y')>F(x,f(x))$ quindi $f(x)

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[ingres]

Ciao JimmyBright

Credo che il problema sia perchè non è in generale valida la seguente

"JimmyBrighy":In un intorno di +∞, quindi U(M,δ) con M grande a piacere ho che ∀x∈U F(x,y')>F(x,f(x)) quindi f(x)

Supponiamo ad es. per semplicità F(x,y) = x-y.
In un intorno di +∞ della x e fissato un certo y' ho che F(x,y')>0=F(x,f(x)) e quindi x-y'> x-f(x) ma da questo discende y'

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[JimmyBrighy]

ingres hai ragione, anche se ancora non mi spiego dove sta l'errore logico. Esistono modi alternativi per stabilire questo limite?

[ingres]

JimmyBrighy, con delle considerazioni in parte intuitive e in parte analitiche si può stabilire qualcosa.

1) limite per $x to +infty$
Ammettendo che la funzione sia definita, evidentemente per x grande e positivo l'esponenziale tenderebbe a sovrastare i termini lineari e sarebbe impossibile risolvere l'equazione, a meno che $y approx x$. Quindi $y to +infty$.
Una verifica più esatta si può avere con de l'Hopital facendo:

$lim_(x to +infty) y/x = lim_(x to +infty) (e^(x-y)-4)/(e^(x-y)+1)=lim_(x to +infty) (y+4x-5)/(y+4x)$

e quindi riapplicando de l'Hopital si trova alla fine che il limite vale 1.

2) limite per $x to -infty$
Anche qui ammettendo che la funzione sia definita, l'esponenziale tende a zero se risulta anche y>0. Ora se l'esponenziale tende a zero allora $y approx -4x+1$ che è >0 per x<1/4 per cui effettivamente si può concludere che l'ipotesi y>0 è corretta e quindi $y to +infty $.
Anche qui de l'Hopital potrebbe essere d'aiuto per avere una conferma ma bisogna stare attenti. Si ha

$lim_(x to -infty) y/x=lim_(x to -infty) (y+4x-5)/(y+4x)$

ma poichè $y approx -4x +1 $ la forma non è più indeterminata e risulta come limite -4 come è corretto che sia.

Si tratta di considerazioni che giustificano i risultati ma che ritengo non rigorose, per cui vediamo se esce qualcosa di meglio.