Limite di funzione in due variabili

[olanda2000]

$ lim (x,y)-> (0,0)$ $ xe^-(y^2 / x )$

il libro Pagani Salsa dice che il limite non esiste, wolfram alpha dice che fa zero, io calcolandolo ( sono passato alle coordinate polari) mi darebbe zero...

Grazie

[feddy]

Ciao, puoi mostrare i passaggi?

[olanda2000]

coordinate polari : (r = ro , t = teta )
x= r* cos t
y= r* sin t

$ r* cos t* e^-( r* (sin t)^2 / (cos t) ) $

il nuovo limite per r --> 0 fa zero .

[feddy]

Non fa $0$, c'è un problema nel tuo procedimento. Nota che se ti restringi a rette, cioè vai all'origine con $(x,mx)$ , allora $\lim_{x \rightarrow 0} x e^{-x} = 0$ (ho preso $m=1$). Se invece vai all'origine con $(y^3,y)$, allora $$\lim_{y \rightarrow 0^{-}} y^{3}e^{- \frac{1}{y}} = + \infty$$ Il limite non esiste

[Mephlip]

@Feddy: C'è un errore di conto che fortunatamente non intacca la dimostrazione, è
$$\lim_{y \to 0^-} y^3 e^{-\frac{1}{y}}=-\infty$$

[olanda2000]

[quote=feddy] Se invece vai all'origine con $(y^3,y)$, allora

non ho capito, che curva è $(y^3,y)$ ?

PS: se visualizzo il grafico 3d della curva, non si vedono questi limiti diversi, cioè pare che avvicinandosi all'origine, Z diventi sempre 0!

grazie

[feddy]

@Mephlip avevo editato giusto in tempo, grazie

@olanda2000 é una cubica

[olanda2000]

"feddy":@Mephlip avevo editato giusto in tempo, grazie

@olanda2000 é una cubica

come mai non hai scritto $( x, x^3)$ ?

[feddy]

Inizialmente ho provato con $(x,x^3)$ ma trovavo ancora $0$, poi mi sono accorto che era meglio rovesciare la curva così il limite da sinistra in una variabile esplodeva

[feddy]

Nota che il limite in polari che hai descritto tu non fa $0$. Immagino tu abbia pensato che per $ heta$ fissato quel limite fa $0$, ma questo **NON** basta per dire che il limite esiste ed è nullo. É esattamente lo stesso motivo per cui non basta provare la restrizione a rette e vedere che è $0$ per concludere che il limite è nullo.

[olanda2000]

"feddy":Inizialmente ho provato con $(x,x^3)$ ma trovavo ancora $0$, poi mi sono accorto che era meglio rovesciare la curva così il limite da sinistra in una variabile esplodeva

sarebbe $ ( x, x^(1/3)) $ ?
e limite lo calcolo per x--> 0-

[feddy]

Sarebbe la curva $x(y)=y^3$, e poi ho calcolato il limite destro e sinistro (che esplode), che sono diversi

[olanda2000]

"feddy":Nota che il limite in polari che hai descritto tu non fa $0$. Immagino tu abbia pensato che per $\theta$ fissato quel limite fa $0$, ma questo **NON** basta per dire che il limite esiste ed è nullo. É esattamente lo stesso motivo per cui non basta provare la restrizione a rette e vedere che è $0$ per concludere che il limite è nullo.

infatti pensavo: ma un punto del piano XY che sta sia su una retta $mx$ che sulla equazione $ x^(1/3) $ ( cioè appartiene ad entrambe le curve) se lo considero sulla retta il limite è 0 , se lo penso sull'altra curva allora il limite è - inf ! ( per entrambe limite per x ----> 0- )

E' normale quindi?

[feddy]

Se lungo due restrizioni il limite è diverso, allora non esiste. La tecnica normale per mostrare che non un limite non esiste è cercare due restrizioni lungo le quali il limite ha valori diversi. E' più "difficile" calcolarlo nel caso in cui esista, ma questo è trattato in ogni testo di analisi 2. Spero di aver risposto alla tua domanda.

[olanda2000]

"feddy":Se lungo due restrizioni il limite è diverso, allora non esiste. La tecnica normale per mostrare che non un limite non esiste è cercare due restrizioni lungo le quali il limite ha valori diversi. E' più "difficile" calcolarlo nel caso in cui esista, ma questo è trattato in ogni testo di analisi 2. Spero di aver risposto alla tua domanda.

sì,grazie

[feddy]

Bene. Oltretutto, se trovi lo stesso valore lungo due restrizioni, questo non prova nulla. Ne potrebbe esistere una terza lungo la quale il limite è diverso.