Limite di funzione in due variabili
Salve a tutti, avrei bisogno di aiuto in un esercizio sul calcolo di un limite di una funzione in due variabili. Il limite è questo:
$ lim_((x,y)->(0,0))(x^6 y^11)/(x^4-y^5) $
Si deve dimostrare che il limite non esiste. Ho provato quindi con le restrizioni più semplici, in modo da trovare due risultati diversi e di conseguenza dimostrare la non esistenza del limite, ma con scarsi risultati.
Tale funzione ha singolarità in $ y^5 = x^4 $, per cui il consiglio che ci ha dato il professore è di utilizzare come restrizione una curva che devi dalla singolarità, del tipo $y=x^(4/5)+x^\alpha$, con $ \alpha>4/5 $.
Così facendo, il limite diventerebbe:
$ lim_((x,x^(4/5)+x^\alpha)->(0,0))(x^6 (x^(4/5)+x^\alpha)^11)/(x^4-(x^(4/5)+x^\alpha)^5) $
Ecco, il punto è che gli "indizi" sono finiti qua e non so bene da che punto partire. Ah si, ci è stato detto di non calcolare il risultato degli elevamenti a potenze 11 e 5 dei termini in parentesi, ma di considerare solo i termini rilevanti al calcolo del limite, utilizzando lo sviluppo del binomio di Newton.
Credo (e sottolineo credo) che l'obiettivo sia, una volta avendo deciso qual è il termine rilevante di x alla alpha al denominatore (come?), di porre il parametro $ \alpha $ uguale all'esponente del termine "più rilevante" al numeratore, in modo da poterli semplificare e ottenere come risultato un numero diverso da 0.
In sostanza si dovrebbe concludere che la restrizione $y=x^(4/5)+x^\alpha$ (una volta trovato $ \alpha $) porta ad un risultato diverso da quello che si sarebbe attenuto utilizzando come restrizione un asse, una retta, etc.
Come penso abbiate intuito ho molti dubbi a riguardo, innanzitutto sul come questo "metodo" funziona, ma anche sul perché si possono trascurare certi termini (e quali) nello sviluppare le potenze degli elementi in parentesi.
Se riusciste a spiegarmi come procedere, magari utilizzando questo esercizio come esempio ve ne sarei veramente grato.
$ lim_((x,y)->(0,0))(x^6 y^11)/(x^4-y^5) $
Si deve dimostrare che il limite non esiste. Ho provato quindi con le restrizioni più semplici, in modo da trovare due risultati diversi e di conseguenza dimostrare la non esistenza del limite, ma con scarsi risultati.
Tale funzione ha singolarità in $ y^5 = x^4 $, per cui il consiglio che ci ha dato il professore è di utilizzare come restrizione una curva che devi dalla singolarità, del tipo $y=x^(4/5)+x^\alpha$, con $ \alpha>4/5 $.
Così facendo, il limite diventerebbe:
$ lim_((x,x^(4/5)+x^\alpha)->(0,0))(x^6 (x^(4/5)+x^\alpha)^11)/(x^4-(x^(4/5)+x^\alpha)^5) $
Ecco, il punto è che gli "indizi" sono finiti qua e non so bene da che punto partire. Ah si, ci è stato detto di non calcolare il risultato degli elevamenti a potenze 11 e 5 dei termini in parentesi, ma di considerare solo i termini rilevanti al calcolo del limite, utilizzando lo sviluppo del binomio di Newton.
Credo (e sottolineo credo) che l'obiettivo sia, una volta avendo deciso qual è il termine rilevante di x alla alpha al denominatore (come?), di porre il parametro $ \alpha $ uguale all'esponente del termine "più rilevante" al numeratore, in modo da poterli semplificare e ottenere come risultato un numero diverso da 0.
In sostanza si dovrebbe concludere che la restrizione $y=x^(4/5)+x^\alpha$ (una volta trovato $ \alpha $) porta ad un risultato diverso da quello che si sarebbe attenuto utilizzando come restrizione un asse, una retta, etc.
Come penso abbiate intuito ho molti dubbi a riguardo, innanzitutto sul come questo "metodo" funziona, ma anche sul perché si possono trascurare certi termini (e quali) nello sviluppare le potenze degli elementi in parentesi.
Se riusciste a spiegarmi come procedere, magari utilizzando questo esercizio come esempio ve ne sarei veramente grato.
Risposte
Ti puoi restringere a calcolare il limite in un intorno di $(0,0)$ abbastanza piccolo da assicurarti che $x^\alpha$ sia dominato da $x^{4/5}$ (dato che, in $[0,1[$ si ha $x^\alpha \le x^\beta$ non appena $\beta \le \alpha$).
A questo punto si tratta di fare le stesse considerazioni generali degli altri casi in cui un limite multivariato non esiste
A questo punto si tratta di fare le stesse considerazioni generali degli altri casi in cui un limite multivariato non esiste
Quindi (se ho capito bene), cercando il limite in un intorno di $ (0,0) $, quando vado a sviluppare i termini tra parentesi posso trascurare tutti i termini tranne quello col grado minore giusto?
Al numeratore allora considero solo il termine $ x^(44/5) $ perché sono sicuro che tutti gli altri sono infinitesimi di ordine superiore, e al denominatore dal risultato dell'elevamento a potenza della parentesi tengo $ x^4 $ (che si semplifica con quello che c'è già) e $ 4x^(16/5 + \alpha) $ (che è il termine di grado più piccolo e che viene da $ 4 \cdot (x^(4/5))^4 \cdot x^(\alpha) $ ).
Allora (se è giusto quello che ho fatto) ottengo:
$ lim_((x,x^(4/5)+x^\alpha)->(0,0))(x^(6) x^(44/5))/(x^(4)-x^(4)+4x^(16/5+\alpha) $
e, dopo aver semplificato, impongo come condizione su $ \alpha $:
$ \alpha + 16/5 = 74/5 $
da cui ottengo che per $ \alpha = 58/5 $ tale limite vale $ l=1/4 $.
Per cui avendo trovato due valori di $ l $ diversi (l'altro ovviamente è $ 0 $) posso dire che il limite non esiste.
Grazie per la risposta! Spero di aver capito la tua indicazione.
Al numeratore allora considero solo il termine $ x^(44/5) $ perché sono sicuro che tutti gli altri sono infinitesimi di ordine superiore, e al denominatore dal risultato dell'elevamento a potenza della parentesi tengo $ x^4 $ (che si semplifica con quello che c'è già) e $ 4x^(16/5 + \alpha) $ (che è il termine di grado più piccolo e che viene da $ 4 \cdot (x^(4/5))^4 \cdot x^(\alpha) $ ).
Allora (se è giusto quello che ho fatto) ottengo:
$ lim_((x,x^(4/5)+x^\alpha)->(0,0))(x^(6) x^(44/5))/(x^(4)-x^(4)+4x^(16/5+\alpha) $
e, dopo aver semplificato, impongo come condizione su $ \alpha $:
$ \alpha + 16/5 = 74/5 $
da cui ottengo che per $ \alpha = 58/5 $ tale limite vale $ l=1/4 $.
Per cui avendo trovato due valori di $ l $ diversi (l'altro ovviamente è $ 0 $) posso dire che il limite non esiste.
Grazie per la risposta! Spero di aver capito la tua indicazione.
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