Limite di funzione in due variabili

[ampetrosillo]

$ f(x,y) = \frac{e^(-x^2/y)}{\sqrt{|y|}} $

È richiesto di:

1) verificare che $ lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,y) $ non esiste. Questo l'ho fatto restringendo la funzione a $ f(x, x^2) $ (il cui limite per $ x \rightarrow 0 $ è $ +\infty $) e successivamente a $ f(x, e^x) $, il cui limite è pari a $ 1 $.

2) verificare che per $ x = x_0 \ne 0 $, $ lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,y) = 0 $. Questo invece non so come farlo. O meglio, è un limite in una sola variabile (basta porre $ x_0^2 = k > 0 $), ma per $ y \rightarrow 0^+ $ ho una forma di indeterminazione (che non so risolvere, de l'Hopital non mi aiuta, nè le stime asintotiche facendo qualche cambio di variabile), sicuramente mi sfugge qualcosa ma non faccio limiti da un po' ) mentre per $ y \rightarrow 0^- $ la funzione diverge (a $ +\infty $ ). Cosa sbaglio?

[stormy1]

se ho capito bene vuoi calcolare
$ lim_(y -> 0^+) e^(-k/y)/sqrty $ con $k>0$
ponendo $1/y=z$ ti riconduci a
$ lim_(z -> +infty) sqrtz/e^(kz) =0$

[ampetrosillo]

Aaaaah, vero. In questi casi, quando l'esponente dell'esponenziale è negativo, basta portarlo sotto

[ampetrosillo]

Ecco, però non risolvo il fatto che il limite, per $ y \rightarrow 0 $, è diverso a seconda che si provenga da destra o da sinistra. Cos'altro sbaglio?

[stormy1]

dato $x_0 ne 0$ e $g(y)=e^(-x_0^2/y)/sqrt|y|$,se la tesi è che $ lim_(y -> 0) g(y)=0 $,mi prendo la responsabilità di dire che è falsa