Limite di funzione esponenziale (con logaritmo e sen di x!)
$ lim_(x -> 0) (1+x^(3))^(log (1+x^4 /3 ) // sin^(6)x $
c'è questo limite che mi sta facendo impazzire da 2 giorni!
Qualcuno mi aiuti a risolverlo, per favore!
ho provato diversi metodi ma con poco successo.
Innanzitutto lo riduco ad un limite notevole di e, così:
$ lim_(x -> 0) (1+x^(3) )^[(1 / x^3 ) * x^(3) * log (1+x^4 / 3) // sin ^6x] $
$ lim_(x -> 0) e^{x^(3) * log (1+x^4 / 3) // sin ^6x] $
a questo punto devo calcolare il limite dell'esponente di e. Vorrei applicare l'Hopital ma mi risulta troppo complicato.
Il risultato dev'essere 1.
Grazie a chi vorrà cimentarvisi, dandomi una mano.
c'è questo limite che mi sta facendo impazzire da 2 giorni!
Qualcuno mi aiuti a risolverlo, per favore!
ho provato diversi metodi ma con poco successo.
Innanzitutto lo riduco ad un limite notevole di e, così:
$ lim_(x -> 0) (1+x^(3) )^[(1 / x^3 ) * x^(3) * log (1+x^4 / 3) // sin ^6x] $
$ lim_(x -> 0) e^{x^(3) * log (1+x^4 / 3) // sin ^6x] $
a questo punto devo calcolare il limite dell'esponente di e. Vorrei applicare l'Hopital ma mi risulta troppo complicato.
Il risultato dev'essere 1.
Grazie a chi vorrà cimentarvisi, dandomi una mano.
Risposte
Puoi trasformarlo così:
$lim_(x -> 0) e^((log(1+x^3)log(1+x^4/3))/(sin^(6)x))$
$lim_(x -> 0) e^((log(1+x^3)log(1+x^4/3))/(sin^(6)x))$
"speculor":
Puoi trasformarlo così:
$lim_(x -> 0) e^((log(1+x^3)log(1+x^4/3))/(sin^(6)x))$
si è stata una delle mille varianti di risoluzione che ho provato, ma credo sia troppo complicato perchè se voglio applicare l'Hopital ho il prodotto di due funzioni logaritmiche di cui una fratta e con un sen^6 x pergiunta!
N.B.Solo il secondo logaritmo è fratto
se riesci a risolverla, potresti illustrarmi lo svolgimento?
ti ringrazio
Scusa ma:
$a*b/c=(a*b)/c$.
Perchè non fai uno sviluppo in serie?
$a*b/c=(a*b)/c$.
Perchè non fai uno sviluppo in serie?
"speculor":
Scusa ma:
$a*b/c=(a*b)/c$.
Perchè non fai uno sviluppo in serie?
uh scusami, hai ragione. Dopo una giornata di studio ho il cervello fuso.
Non so cosa sia uno sviluppo in serie
Per me sono già avanzatissimi concetti come i limiti e le derivate (provengo dal liceo linguistico)
Sotto quale argomento del libro l'hai trovato?
"speculor":
Sotto quale argomento del libro l'hai trovato?
L'esercizio proviene da un compito di esame degli anni scorsi.
Lo sviluppo in serie cui ti riferivi è legato alle formule di Taylor, giusto? Ho letto qualcosa dal libro ma non ho capito nulla..questa matematica mi porterà al suicidio!
Da un compito d'esame del liceo linguistico. Sei sicura? Non credo abbiate matematica nella seconda prova.
"speculor":
Da un compito d'esame del liceo linguistico. Sei sicura? Non credo abbiate matematica nella seconda prova.
No..da un compito d'esame universitario. Al liceo ce le sognavamo queste cose!
Basta risolvere:
$lim_(x -> 0) (log(1+x^3)log(1+x^4/3))/(sin^(6)x)$
Quando $xto0$ valgono le seguenti:
$log(1+x)=x+O(x^2)$
$sinx=x+O(x^3)
Quindi:
$log(1+x^3)=x^3+O(x^6)$
$log(1+x^4/3)=x^4/3+O(x^8)$
$sin^(6)x=(x+O(x^3))^6=x^6+O(x^8)$
Ora basta sostituire.
$lim_(x -> 0) (log(1+x^3)log(1+x^4/3))/(sin^(6)x)$
Quando $xto0$ valgono le seguenti:
$log(1+x)=x+O(x^2)$
$sinx=x+O(x^3)
Quindi:
$log(1+x^3)=x^3+O(x^6)$
$log(1+x^4/3)=x^4/3+O(x^8)$
$sin^(6)x=(x+O(x^3))^6=x^6+O(x^8)$
Ora basta sostituire.
Ma quella O cos'è?! 
Quando $f(x)=O[g(x)]$ le due funzioni sono infinitesimi dello stesso ordine. In modo non troppo rigoroso, tendono a zero allo stesso modo.
Quindi, quando scrivi la seguente espressione:
$sinx=x+O(x^3)$ per $x->0$
significa che il secondo termine è trascurabile rispetto al primo, comportandosi come $x^3$.
Quindi, quando scrivi la seguente espressione:
$sinx=x+O(x^3)$ per $x->0$
significa che il secondo termine è trascurabile rispetto al primo, comportandosi come $x^3$.
Ti ringrazio
Per completezza scrivo lo svolgimento che ha fatto la mia prof quando le ho sottoposto l'esercizio:
$ lim_(x -> 0) e^{x^(3)*[log (1 +x ^(4) / 3)] / (sin ^6 x) } $
$ lim_(x -> 0) x^3* log (1+x^(4)/ 3) / (sin ^6 x) $
Divido e moltiplico per $ x^(3) $ :
$ lim_(x -> 0)x^3 / x^3 * x^3 / (sin ^6 x) * log (1+x^4 / 3) $
$ lim_(x -> 0) x^6 /(sin ^6 x) * (log(1+x^(4)/3)) / x^3 $
Moltiplico e divido per $ x/3$
$ lim_(x -> 0) x^6 / (sin ^6 x)* log (1+x^4/3)/(x^3*x/3)*x/3 $
$ lim_(x -> 0) x^6/(sin ^6 x) * log (1+x^4/3)/(x^4/3)*x/3 $
Poichè per i limiti notevoli:
$ lim_(x -> 0) x^6/(sin ^6x)=1 $
$lim_(x -> 0) log(1+x^4/3)/(x^4/3)=1$
e:
$ lim_(x -> 0) x/3=0 $
Dunque
$1*1*0=0$
In conclusione:
$ lim_(x -> 0) e^{x^3* log (1+x^4/3)/(sin ^6x)} =e^{0} =1 $
Per completezza scrivo lo svolgimento che ha fatto la mia prof quando le ho sottoposto l'esercizio:
$ lim_(x -> 0) e^{x^(3)*[log (1 +x ^(4) / 3)] / (sin ^6 x) } $
$ lim_(x -> 0) x^3* log (1+x^(4)/ 3) / (sin ^6 x) $
Divido e moltiplico per $ x^(3) $ :
$ lim_(x -> 0)x^3 / x^3 * x^3 / (sin ^6 x) * log (1+x^4 / 3) $
$ lim_(x -> 0) x^6 /(sin ^6 x) * (log(1+x^(4)/3)) / x^3 $
Moltiplico e divido per $ x/3$
$ lim_(x -> 0) x^6 / (sin ^6 x)* log (1+x^4/3)/(x^3*x/3)*x/3 $
$ lim_(x -> 0) x^6/(sin ^6 x) * log (1+x^4/3)/(x^4/3)*x/3 $
Poichè per i limiti notevoli:
$ lim_(x -> 0) x^6/(sin ^6x)=1 $
$lim_(x -> 0) log(1+x^4/3)/(x^4/3)=1$
e:
$ lim_(x -> 0) x/3=0 $
Dunque
$1*1*0=0$
In conclusione:
$ lim_(x -> 0) e^{x^3* log (1+x^4/3)/(sin ^6x)} =e^{0} =1 $
@speculor: sei sicuro di quello che hai scritto?
Io ho sempre visto usare gli o-piccoli negli sviluppi, non gli O-grandi!
Io ho sempre visto usare gli o-piccoli negli sviluppi, non gli O-grandi!
"Raptorista":
@speculor: sei sicuro di quello che hai scritto?
Io ho sempre visto usare gli o-piccoli negli sviluppi, non gli O-grandi!
A me sembra corretto, per quanto poco conosca la notazione O-grande. Se avesse scritto $sin(x) = x + o(x)$ sarebbe stato corretto, mentre $sin(x) = x + O(x)$ o $sin(x) = x + O(x^2)$ sarebbe errato.
Convenite?
@Raptorista: Puoi usare quello che vuoi. C'è una formulazione del resto con l'o-piccolo e una con l'O-grande, in ultima analisi è sempre la stessa cosa. Il resto di Taylor si può rappresentare in tanti modi diversi... [OT]Quello che io preferisco è la rappresentazione integrale. [/ot]
Ah ok, allora chiedo scusa a speculor!
Non l'avevo mai visto usare, adesso me lo sono segnato
Non l'avevo mai visto usare, adesso me lo sono segnato
"Seneca":
[quote="Raptorista"]@speculor: sei sicuro di quello che hai scritto?
Io ho sempre visto usare gli o-piccoli negli sviluppi, non gli O-grandi!
A me sembra corretto, per quanto poco conosca la notazione O-grande. Se avesse scritto $sin(x) = x + o(x)$ sarebbe stato corretto, mentre $sin(x) = x + O(x)$ o $sin(x) = x + O(x^2)$ sarebbe errato.
Convenite?[/quote]$O(x^2)$ è giusto. Si fa presto a controllare: scriviamo il resto nella forma di Lagrange (andrebbe benissimo anche la forma integrale):
$sin(x)=sin(0)+sin'(0)x+1/2 sin''(0)x^2+1/6sin'''(xi)x^3=x-1/6cos(xi)x^3=x+O(x^2)$,
perché, per $x\to 0$, $x^3=O(x^2)$ (per la definizione precisa vedere qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#467041
Uh, grazie Dissonance. Non sono abituato, come dicevo, a questa notazione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo