Limite di funzione di due variabili

[cidrolin]

Buongiorno,

il problema per il quale richiedo un aiuto è dimostrare per quali valori di $beta$:

$ lim_((x,y)->(0,0))(xy+1/2y^2)/(x^2+y^2)^\beta\ = 0$

Di seguito riporto la mia soluzione:

$ |(xy+1/2y^2)/(x^2+y^2)^\beta\ | <= |(xy+y^2)|/(x^2+y^2)^\beta\ <= |xy|/(x^2+y^2)^\beta\ + y^2/(x^2+y^2)^\beta\ $ .
Considero separatamente i due addendi:

Primo addendo
$|xy|/(x^2+y^2)^\beta\ = |xy|/(x^2+y^2)* (x^2+y^2)/(x^2+y^2)^\beta\ <= 1/2* (x^2+y^2)/(x^2+y^2)^\beta\ $ ( perchè $ 2|xy| <= x^2+y^2 $) $ = 1/2*(x^2+y^2)^(1-\beta\) -> 0$ per $(x,y)->(0,0)$ se $ beta <1$

Secondo addendo:
$y^2/(x^2+y^2)^\beta\ <= (x^2+y^2)/(x^2+y^2)^\beta\-> 0$ per $(x,y)->(0,0)$ se $ beta <1$

In definitiva deve essere $ beta <1$. E' corretto?

Grazie

[otta96]

Se $\beta<1$ effettivamente il limite è $0$, ma non hai dimostrato che vale il se e solo se, perchè se separi i limiti e ognuno dei due non è $0$ non sai cosa succede se li sommi, potrebbe tendere a $0$ la somma, quindi manca un pezzetto.

[cidrolin]

Grazie mille per la risposta, provo ad aggiungere il pezzetto mancante:

se $\beta<1 $ allora posso scrivere:

$ | xy + 1/2*y^2 |/(x^2+y^2)^ \beta\ <= (|y||x+y|)/(x^2+y^2)^ \beta\ <= $( se $beta<1 $ => $ |y|/(x^2+y^2)^ \beta\ <=1 $ ) $<= | x+y | ->(0,0)$ per $ (x,y) ->(0,0)$

è corretto?

[otta96]

Attenzione che $|x+y/2|<=|x+y|$ non è vero (pensaci).
Comunque la parte $\beta<1$ la avevi già fatta e andava bene, dovevi dimostrare che se $\beta>=1$ allora il limite non è $0$.

[Lebesgue]

"cidrolin":Grazie mille per la risposta, provo ad aggiungere il pezzetto mancante:

se $\beta<1 $ allora posso scrivere:

$ | xy + 1/2*y^2 |/(x^2+y^2)^ \beta\ <= (|y||x+y|)/(x^2+y^2)^ \beta\ <= $( se $beta<1 $ => $ |y|/(x^2+y^2)^ \beta\ <=1 $ ) $<= | x+y | ->(0,0)$ per $ (x,y) ->(0,0)$

è corretto?

Per dimostrare che se $\beta\ge 1$ il limite non è zero, prova a considerare delle specifiche curve che non ti danno zero come limite, ad esempio:

Mettiamoci nel caso $\beta=1$ e considero la curva $(x,y)=(t,t)$; allora il limite diventa:

$\lim_{t\to 0} \frac{t^2+t^2/2}{2t^2}= 3/4$

dunque per $\beta=1$, se esiste, il limite non è zero (in quanto ho trovato una curva lungo la quale tale limite non tende a $0$).

Prova ora tu nel caso $\beta>1$.

[cidrolin]

Buonasera e grazie per la risposta.

Provo:
Considero la stessa curva $ (x,y) = (t,t) $ per $beta >1 $ ottengo:
$lim_(t->0)(t^2+t^2/2)/(2*t^(2beta)) = lim_(t->0) 3/4 * (t^(2-2beta)) != 0$$ lim_(t->0)(t^2+t^2/2)/(2*t^(2beta)) = lim_(t->0) 3/4 * (t^(2-2beta)) to \infty $

Mi scuso per il ritardo ma ho avuto problemi di connessione internet

[Lebesgue]

"cidrolin":Buonasera e grazie per la risposta.

Provo:
Considero la stessa curva $ (x,y) = (t,t) $ per $beta >1 $ ottengo:
$lim_(t->0)(t^2+t^2/2)/(2*t^(2beta)) = lim_(t->0) 3/4 * (t^(2-2beta)) != 0$$ lim_(t->0)(t^2+t^2/2)/(2*t^(2beta)) = lim_(t->0) 3/4 * (t^(2-2beta)) to \infty $

Mi scuso per il ritardo ma ho avuto problemi di connessione internet

Okay, così va bene.
Giusto una piccola osservazione: quando calcoli il limite:

$\lim_{t\to 0} \frac{t^2+t^2/2}{(t^2+t^2)^\beta} $

stai attento perché in realtà al denominatore viene:

$\frac{3t^2/4}{(2t^2)^\beta}=\frac{3t^2/4}{2^\beta t^\{2\beta}} $

(ovviamente non cambia nulla, poichè $2^\beta$ è comunque una costante e non influisce sul risultato del limite)

[cidrolin]

Grazie ancora per la risposta e per l'avvertimento sulla potenza calcolata male al denominatore che ammetto essere un mio errore (di distrazione) ma pur sempre errore