Limite di funzione continua

[emmeci1]

ho fatto questa dimostrazione, ma non so se è completamente esatta...qualcuno può darci un'occhiata?grazie....
sia f: $ cc(R) ^(2) rarr cc(R) $ , f( $ cc(R) ^(2) $ )= $ cc(R) $ , bisogna dimostrare che $ lim_((x,y) -> oo ) f(x,y) $ non è finito

la mia idea è questa:
per ogni r $ > $ 0 posso prendere C=$B(0,r ] $ $ nn (cc(R) )^(2) $, C è compatto, siccome f è continua, per il teorema di Weiestrass f ha massimo e minimo assoluto in C. Per ogni r posso prendere $ delta > 0 $ tale che nel compatto G=$B(0,r + delta ] $ $ nn (cc(R) )^(2) $ trovo un altro minimo e un altro massimo assoluto in G. Perciò $ lim_((x,y) -> oo ) f(x,y) = oo $

[gugo82]

Il teorema è falso in partenza, perchè una funzione che soddisfa le ipotesi non può essere regolare all'inifnito.

Quindi devi modificare l'enunciato se vuoi un teorema da dimostrare.

[emmeci1]

Il testo dell'esercizio dice così....perchè doverebbe essere falso?

[Luca.Lussardi]

Anche messo così credo che non sia vero,la funzione potrebbe esplodere in un punto pur avendo limite finito all'infinito. Se aggiungi che $f$ è continua ed esiste $\lim_{(x,y) \to \infty}f(x,y)$, allora sì tale limite non può essere finito.

[emmeci1]

ok, avete ragione, aggiunta come ipotesi che f sia continua, ha senso il mio ragionamento?

[Luca.Lussardi]

Devi anche dire che $\lim_{(x,y) \to \infty}f(x,y)$ esiste, non basta la continuità. Per quanto riguarda il tuo ragionamento, hai azzeccato l'idea però non è scritto nel modo corretto.