Limite di funzione con taylor

[etuardu]

Salve a tutti, ho il seguente limite di funzione:

$\lim_{x \to 0}(sin(2x-x^2)-2ln(1+x))/(cos(2x-x^2)-1+2ln(1+x^2))$

Per semplificarlo ho preso gli sviluppi di Mac Laurin delle funzioni che compaiono, e cioè:

$sin(x) = x - (x^3)/(3!) + (x^5)/(5!) - ... + (-1)^n (x^(2n+1))/((2n+1)!) + ...$
$log(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ... + (-1)^(n-1) x^n/n + ...$
$cos(x) = 1 - x^2/(2!) + x^4/(4!) - ... + (-1)^n x^(2n)/((2n)!) + ...$

quindi ho riscritto ogni funzione usando questi sviluppi, fermandomi al primo termine in cui compare la $x$:

$sin(2x - x^2) = 2x - x^2$ (mi fermo al primo termine)
$ln(1 + x) = x$ (mi fermo al primo termine)
$cos(2x - x^2) = 1 - ((2x-x^2)^2)/2$ (mi fermo al secondo termine)
$ln(1+x^2) = x^2$ (mi fermo al primo termine)

A questo punto ho sostituito le funzioni nel limite e l'ho risolto in questo modo:

$\lim_{x \to 0}(2x - x^2 - 2x)/(1 - ((2x-x^2)^2)/2 - 1 + 2x^2) = \lim_{x \to 0}(- x^2)/(-((2x-x^2)^2+4x^2)/2) =$
$= \lim_{x \to 0}(2x^2)/((2x-x^2)^2+4x^2) = \lim_{x \to 0}(2x^2)/(4x^2+x^4-4x^3+4x^2) =$
$= \lim_{x \to 0}(x^2(2))/(x^2(4+x^2-4x+4)) = 2/8 = 1/4$

Purtroppo sbaglio qualcosa perché la soluzione dovrebbe essere $-1$. Questo credo sia dovuto a come applico le formule di Taylor/Mac Laurin, visto che il procedimento per risolvere il limite nella soluzione fornitami dall'insegnante è:

$\lim_{x \to 0} ( 2x-x^2- 1/6 (2x-x^2)^3+o(x^4)-2(x-(x^2)/2+(x^3)/3 + o(x^3)) ) / ( (1- 1/2 (2x-x^2)^2+o(x^3)) - 1+2(x^2+o(x^3)) ) = \lim_{x \to 0}(-2x^3+o(x^3))/(2x^3+o(x^3)) = -1$

Sapreste indicarmi dove sbaglio e quale ragionamento dovrei seguire per arrivare al procedimento dell'insegnante?
Grazie davvero!

[@melia]

Ti sei fermato troppo presto, soprattutto nello sviluppo di $log(x+1)$ dove ti trovi un $o(x)$ quando a numeratore compaiono termini in $x^2$, quindi infinitesimi di ordine superiore al termine rispetto al quale ti sei fermato.
Non è importante quanti termini calcoli, ma l'ordine di infinitesimo rispetto al quale ti fermi che deve essere superiore rispetto a quello che hai negli altri sviluppi.
Non so se mi sono spiegata, devi trosformare tutti i termini in modo da avere infinitesimi trascurabili superiori al terzo ordine (visto che se fai lo sviluppo correttamente i termini di secondo ordine si semplificano)