Limite di funzione con parametro

[55sarah]

Ciao a tutti, per favore ditemi se ho risolto correttamente questo limite di funzione con parametro. E se ci dovessere essere una strada piu` veloce ditemelo. Grazie in anticipo.

$lim_{x\rightarrow0+} x^\alpha((\cos x-\ln (\cos x)-1)/(sqrt(x)-\ln(1+\sqrt(x)+x)))$

NUMERATORE
$\cos x=1-(x^2)/(2)+x^4/(4!)+o(x^4)$

$\ln(1-(x^2)/(2)+x^4/(4!))=-(x^2)/(2)+x^4/(4!)-1/2(-x^2/2+(x^4)/(4!))+o(x^4)=-x^2/2+(x^4)/(4!)-x^4/8+o(x^4)$

in totale al NUMERATORE si ha: $1-(x^2)/(2)+x^4/(4!)+o(x^4)+x^2/2-(x^4)/(4!)+x^4/8+o(x^4)-1\sim x^4/8$

DENOMINATORE
$\ln(1+sqrt(x)+x)\sim sqrt(x)+x$
e il denominatore diventa: $sqrt(x)-sqrt(x)-x= -x$

IN TOTALE SI HA
$lim_{x\rightarrow0+} x^\alpha((\cos x-\ln (\cos x)-1)/(sqrt(x)-\ln(1+\sqrt(x)+x)))\sim x^\alpha(x^4/8)/(-x)=-1/8\cdot (1)/(x^{-\alpha-3})={(\alpha=-3\rightarrow -1/8),(\alpha<-3\rightarrow -\infty), (\alpha>-3\rightarrow 0-):}$ con $x\rightarrow0+$

[piero_1]

c'è un errore al denominatore, serve uno sviluppo del II ordine.
\(\displaystyle {\ln{{\left({1}+\sqrt{{{x}}}+{x}\right)}}}\sim\sqrt{{{x}}}+\frac {x}{2}\)
dimmi se sei d'accordo

[Plepp]

"piero_":c'è un errore al denominatore, serve uno sviluppo del II ordine.
\(\displaystyle {\ln{{\left({1}+\sqrt{{{x}}}+{x}\right)}}}\sim\sqrt{{{x}}}+\frac {x}{2}\)
dimmi se sei d'accordo

Ciao Piero. !?! $uarr$

[piero_1]

chiedo scusa

\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\frac {\sqrt{x}-\ln{(1+\sqrt{x}+x)}}{-\frac {x}{2}} = 1\)

perciò dai miei conti il denominatore è equivalente a \(\displaystyle -\frac {x}{2}\)

[Plepp]

Chiedo scusa, svista mia!

[55sarah]

intanto ringrazio per aver notato l'errore

Allora viene
$\ln(1+sqrt(x)+x)=sqrt(x)+x-x/2+o(x)$

perciò al denominatore si ha $sqrt(x)-sqrt(x)-x+x/2+o(x)\sim -x/2$ per $x\rightarrow 0^+$

quindi si ha

$f(x)\sim x^\alpha((x^4/8)/(-x/2))=-1/4\cdot (1)/(x^{-\alpha-3})={(\alpha=-3 \rightarrow 1/4), (\alpha<-3\rightarrow -\infty), (\alpha>-3\rightarrow 0^-):}$ per $x\rightarrow 0^+$

è esatto così ora? vero?
Grazie in anticipo