Limite di funzione con integrale

[Ingy]

Ciao a tutti! Ho la funzione:

$ f(x)={ ( sqrt(x^2+1)-int_(x)^(2x)e^t/sqrtt dt;x>0),( 0;x=0 ):} $

Devo calcolare il limite:
$ lim_(x -> +oo ) f(x) $

Ho provato ad usare media integrale e L'Hopital, in entrambi i casi finisco nella forma indeterminata $ +oo -oo $

Calcolando il segno della derivata seconda mi viene che la funzione è decrescente quindi in teoria il limite dovrebbe venire meno infinito, ma non so come!

Grazie

[Rigel1]

Poiché, per \(x>0\),
\[
\int_x^{2x}\frac{e^t}{\sqrt{t}}\, dt \geq \frac{1}{\sqrt{2x}} \int_x^{2x} e^t\, dt = \frac{e^x(e^x-1)}{\sqrt{2x}}
\]
si ha che
\[
f(x) < \sqrt{x^2+1} - \frac{e^x(e^x-1)}{\sqrt{2x}}\,.
\]
Da qui dovresti essere in grado di concludere.