Limite di funzione che non mi torna!
dov'è l'errore?
$\lim_{x \to \infty}x^(1/log(x+1))$ => $\lim_{x \to \infty}e^(log(x)^(1/log(x+1)))$ => $\lim_{x \to \infty}e^(1/log(x+1)*(logx))$ =>
$\lim_{x \to \infty}e^(logx/log(x+1))$ => $\lim_{x \to \infty}e^((logx)/log(x+1)*x/x)$
ora ricordo il limite notevole $\lim_{x \to \infty}log(x+1)/x=1$ (in questo caso applico l'inverso che è sempre uguale a 1), e mi resta
$\lim_{x \to \infty}e^((logx)/x)$ per la scala degli infiniti $(logx)/x$ tende a 0 per x che tende a più infinito
quindi mi resta $e^0$=1
ma il risultato corretto è 0.
perchè?
grazie mille in anticipo per il prezioso supporto.
marco
$\lim_{x \to \infty}x^(1/log(x+1))$ => $\lim_{x \to \infty}e^(log(x)^(1/log(x+1)))$ => $\lim_{x \to \infty}e^(1/log(x+1)*(logx))$ =>
$\lim_{x \to \infty}e^(logx/log(x+1))$ => $\lim_{x \to \infty}e^((logx)/log(x+1)*x/x)$
ora ricordo il limite notevole $\lim_{x \to \infty}log(x+1)/x=1$ (in questo caso applico l'inverso che è sempre uguale a 1), e mi resta
$\lim_{x \to \infty}e^((logx)/x)$ per la scala degli infiniti $(logx)/x$ tende a 0 per x che tende a più infinito
quindi mi resta $e^0$=1
ma il risultato corretto è 0.
perchè?
grazie mille in anticipo per il prezioso supporto.
marco
Risposte
A me viene $e$!
$log(x)/log(x + 1)$ è un caso $infty/infty$ quindi con Hopital mi si semplificherebbe notevolmente in $(x + 1)/x$ che è asintotico a $x/x$ e quindi $1$ e il limite verrebbe $e$
Comunque per controllare ho passato il tutto a Mathematica e anche lui mi da come risultato $e$
$log(x)/log(x + 1)$ è un caso $infty/infty$ quindi con Hopital mi si semplificherebbe notevolmente in $(x + 1)/x$ che è asintotico a $x/x$ e quindi $1$ e il limite verrebbe $e$
Comunque per controllare ho passato il tutto a Mathematica e anche lui mi da come risultato $e$
"marco.surfing":
ora ricordo il limite notevole $\lim_{x \to \infty}log(x+1)/x=1$
No, non è così...
La variabile deve tendere a $0$...
ho sbagliato a scrivere:
"quindi mi resta $e^0$=1
ma il risultato corretto è 0.
perchè? "
volevo dire il risultato corretto è 1. quindi $e^1=e$
quindi il vostro risultato è corretto.
con l'hopital viene anche a me. solo che dovrei risolverlo senza l'hopital. nei passaggi che ho inserito sapete indicarmi dove ho sbagliato? sono dubbioso per quanto riguarda il fatto che ho moltiplicato e diviso per x l'esponente in modo da ricondurmi al limite notevole (all'inverso). è forse lì l'errore?
io davvero non lo trovo....
"quindi mi resta $e^0$=1
ma il risultato corretto è 0.
perchè? "
volevo dire il risultato corretto è 1. quindi $e^1=e$
quindi il vostro risultato è corretto.
con l'hopital viene anche a me. solo che dovrei risolverlo senza l'hopital. nei passaggi che ho inserito sapete indicarmi dove ho sbagliato? sono dubbioso per quanto riguarda il fatto che ho moltiplicato e diviso per x l'esponente in modo da ricondurmi al limite notevole (all'inverso). è forse lì l'errore?
io davvero non lo trovo....
eccolo l'errore!
la variabile deve tendere a zero per il limite notevole!!
grazie dorian....
svista!
provo diversamente
la variabile deve tendere a zero per il limite notevole!!
grazie dorian....
svista!
provo diversamente
Comunque rimane il fatto che poteva essere più giusto il tuo di risultato che non 0 visto che abbiamo a che fare con un esponenziale!
Secondo me potresti anche evitare di ricondurti al limite notevole, dal momento che hai subito, per l'ordine di infinito, $log(x)/log(x+1) ->1 per x->\infty$! Infatti num e denom sono dello stesso ordine, quindi il risultato è 1, da cui $e^1=e$!
scusa la mia domanda...ma come faccio a sapere che $log(x+1)$ e $logx$ sono dello stesso ordine (e in questo caso asintotici) se non faccio il limite che tende a più infinito del loro quoziente?
grazie,
marco
grazie,
marco
In che senso, scusa? Se f(x) e g(x) sono due funzioni e vogliamo sapere come si comporta il loro rapporto per x al tendere di $+\infty$, bisogna tener presente che se il numeratore "tende ad infinito più velocemente" del denominatore, allora il rapporto vale infinito; viceversa, se è il denominatore a tendere ad inf più velocemente, il rapporto tra f(x) e g(x) vale zero..Infine, se si verifica una situazione di "parità" di infiniti, il rapporto vale 1. Tutto questo è determinato dall'ordine degli infiniti, per cui la funzione log(x) tende ad infinito più lentamente della funzione potenza x e della funz. exp; la funz potenza tende più lentamente della exp. Questo ovviamente in generale. Nel tuo caso hai due log dello stesso ordine, per cui nessuno dei due "vince" sull'altro, quindi il risultato è 1. Se avessi avuto, invece, al numeratore $log^2(x)$, ovviamente quel limite avrebbe dato come risultato +infinito, visto che il numeratore sarebbe stato ad un ordine maggiore rispetto al numeratore. 
"marco.surfing":
scusa la mia domanda...ma come faccio a sapere che $log(x+1)$ e $logx$ sono dello stesso ordine (e in questo caso asintotici) se non faccio il limite che tende a più infinito del loro quoziente?
grazie,
marco
be guarda basta ricordarsi del grafico elementare di $logx$ che al tendere di x all'infinito $f(x)$ va a infinito, seppur con una certa lentezza! Quindi mi pare anche normale che anche
log(x + 1) va a infinito allo stesso modo!
Beh, meglio così:
$(log(x+1))/(log x)=(log[x*(1+1/x)])/(logx)=(logx+log(1+1/x))/(logx)=1+(log(1+1/x))/(logx)$
con il termine $(log(1+1/x))/(logx)$ evidentemente infinitesimo per $x\to +oo$: perciò $lim_(x\to +oo) (log(x+1))/(log x)=1+0=1$.
$(log(x+1))/(log x)=(log[x*(1+1/x)])/(logx)=(logx+log(1+1/x))/(logx)=1+(log(1+1/x))/(logx)$
con il termine $(log(1+1/x))/(logx)$ evidentemente infinitesimo per $x\to +oo$: perciò $lim_(x\to +oo) (log(x+1))/(log x)=1+0=1$.
grazie mille. ora è chiaro, e ve ne sono grato.
marco
marco
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo