Limite di funzione a tre o più variabili

[Brancaleone1]

Ciao a tutti
Una curiosità: come si calcolano i limiti per funzioni di tre variabili?
Magari dico una fesseria, ma dato che nel caso bidimensionale si impiegano le coordinate polari, è possibile che nel caso tridimensionale si usino le coordinate sferiche? Tipo:

$\lim_{(x,y,z) \to (x_0,y_0,z_0)} f(x,y,z)= \lim_{\rho \to 0} f(\rho, \theta, \phi) $

con

\(\displaystyle \begin{cases} x=x_0+\rho \sin \theta \cos \phi \\ y=y_0+\rho \sin \theta \sin \phi \\ z=z_0+\rho \cos \theta \end{cases} \)

E per un numero di variabili superiore a 3?

[Luca.Lussardi]

Ciò che hai scritto è un po' fuorviante: quel limite in $\rho$ non è un banale limite di una funzione che dipende anche dai parametri $\theta$ e $\phi$, bensì deve essere un limite uniforme rispetto a tali parametri. Per un numero $n$ di variabili esiste un cambiamento di coordinate analogo: sempre una variabile radiale e $n-1$ variabili angolari.

[Brancaleone1]

Perdona la mia ignoranza, ma cosa intendi con "limite uniforme rispetto a tali parametri"?

[Luca.Lussardi]

Intendo che se $\lim_{\rho \to 0}F(\rho,\theta,\phi)=l$ è uniforme in $(\theta,\phi)$, essendo $F(\rho,\theta,\phi)=f(x_0+\rho\sin\theta\sin\phi,y_0+\sin\theta\cos\phi,z_0+\rho\cos\theta)$, allora si ha $\lim_{(x,y,z)\to(x_0,y_0,z_0)}f(x,y,z)=l$. Ora $\lim_{\rho \to 0}F(\rho,\theta,\phi)=l$ uniforme in $(\theta,\phi)$ vuol dire che per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che per ogni $(\rho,\theta,\phi) \in (0,\delta)\times [0,\pi)\times [0,2\pi)$ si ha $|F(\rho,\theta,\phi)-l|<\varepsilon$: in parole povere il $\delta$ della definizione non deve dipendere da $\theta,\phi$.

[Brancaleone1]

Ah, ok. E' come per il limite a due variabili, che se esiste non dipende da $\theta$ - sottintendevo questo nell'incipit.
E per più variabili quindi si ragiona nello stesso modo? Anche se ammetto che mi riesce difficile potermelo immaginare, coinvolgendo 4 o più dimensioni...

[Luca.Lussardi]

Si il ragionamento $2 \to n$ non crea, dal punto di vista teorico, nessun problema. Insisto però sull'uniformità nel limite in coordinate polari: non è sufficiente che il valore $l$, risultato del limite per $\rho\to 0$, non dipenda dall'angolo $\theta$, è solo necessario. Per esempio, la funzione $f(x,y)=x^2/y$ non ammette limite per $(x,y)\to (0,0)$, avendosi $f(0,y)=0$ per ogni $y\ne 0$ e $f(x,x^2)=1$ per ogni $x\ne 0$; tuttavia $f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)=\rho\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}$ che tende a $0$ per ogni $\theta$ con $\sin\theta\ne 0$.