Limite di funzione a più variabili
Ciao a tutti ! Sono alle prime armi con questo genere di limiti e a volte sono davvero complessi ; uno per esempio è questo :
$lim f(x,y)_{(x,y)-->(0,0)} {xy} / sqrt{x^2 + y^2 + xy}$ .
Io svolgo i seguenti passaggi :
Per prima cosa in ogni limite dobbiamo trovare un "candidato limite" , considerando la funzione lungo semplici restrizioni , in questo caso $f(0,y)=f(x,0)=0$ quindi posso affermare che il limite se esiste vale zero.
Poi giunto qua iniziano i dubbi ; ora posso scegliere due strade maggiorazioni o coordinate polari e devo dimostrare che $|f(x,y) - 0|=0$ (mi sbaglio ?
)
Comunque io ho scelto di risolverlo con coordinate polari , così : ${|\rho cos\theta \rho sen\theta|}/sqrt{\rho^2 cos^2 \theta + \rho^2 sen^2 \theta +\rho cos\theta \rho sen\theta}$ sapendo che le funzioni seno e coseno sono limitate (minore o uguali a 1) trascuro il loro modulo e raccogliendo $\rho$ nella radice e ricordando che $cos^2 + sen^2=1$ ottengo ${\rho^2 }/sqrt{\rho^2 +\rho^2 cos\theta sen\theta} ={\rho^2 }/{\rho sqrt{1 + cos\theta sen\theta}}=\rho /{sqrt{1 + cos\theta sen\theta}} $.
Ok , stop ! Una volta giunto qua non riesco a proseguire ben perchè non capisco bene ! Prima domanda : è giusto il procedimento fino a qua ?
Seconda cosa : da questo punto il mio prof. vorrebbe "trasformare" la funzione al denominatore ${sqrt{1 + cos\theta sen\theta}} $ facendola dipendere da $\rho$ e non da $\theta$ e bisogna maggiorarla ( o minorarla??) con il suo minimo quindi calcola la sua derivata prima e la annulla però mi sono un pò perso : qualche consiglio , suggerimento ??? Grazie mille
$lim f(x,y)_{(x,y)-->(0,0)} {xy} / sqrt{x^2 + y^2 + xy}$ .
Io svolgo i seguenti passaggi :
Per prima cosa in ogni limite dobbiamo trovare un "candidato limite" , considerando la funzione lungo semplici restrizioni , in questo caso $f(0,y)=f(x,0)=0$ quindi posso affermare che il limite se esiste vale zero.
Poi giunto qua iniziano i dubbi ; ora posso scegliere due strade maggiorazioni o coordinate polari e devo dimostrare che $|f(x,y) - 0|=0$ (mi sbaglio ?
)Comunque io ho scelto di risolverlo con coordinate polari , così : ${|\rho cos\theta \rho sen\theta|}/sqrt{\rho^2 cos^2 \theta + \rho^2 sen^2 \theta +\rho cos\theta \rho sen\theta}$ sapendo che le funzioni seno e coseno sono limitate (minore o uguali a 1) trascuro il loro modulo e raccogliendo $\rho$ nella radice e ricordando che $cos^2 + sen^2=1$ ottengo ${\rho^2 }/sqrt{\rho^2 +\rho^2 cos\theta sen\theta} ={\rho^2 }/{\rho sqrt{1 + cos\theta sen\theta}}=\rho /{sqrt{1 + cos\theta sen\theta}} $.
Ok , stop ! Una volta giunto qua non riesco a proseguire ben perchè non capisco bene ! Prima domanda : è giusto il procedimento fino a qua ?
Seconda cosa : da questo punto il mio prof. vorrebbe "trasformare" la funzione al denominatore ${sqrt{1 + cos\theta sen\theta}} $ facendola dipendere da $\rho$ e non da $\theta$ e bisogna maggiorarla ( o minorarla??) con il suo minimo quindi calcola la sua derivata prima e la annulla però mi sono un pò perso : qualche consiglio , suggerimento ??? Grazie mille
Risposte
"previ91":
... e devo dimostrare che $|f(x,y) - 0|=0$ (mi sbaglio ?
Cosa intendi?
"previ91":
...ottengo ${\rho^2 }/sqrt{\rho^2 +\rho^2 cos\theta sen\theta} ={\rho^2 }/{\rho^2 sqrt{1 + cos\theta sen\theta}}=1/{sqrt{1 + cos\theta sen\theta}} $.
Qui c'è un errore: $sqrt( rho^2) = rho$ ( $rho >= 0$ ).
In ogni caso tu non stai "trascurando" il seno e il coseno, ma stai maggiorando il loro valore assoluto (lo scopo è quello di ottenere una maggiorazione di $f(\rho, \theta)$ la quale tenda a $0$ uniformemente rispetto a $\theta$).
Intanto correggi questo...
Ho corretto grazie mi era sfuggito ! Ed è anche giusto dire che non trascuro seno e coseno ma che sto maggiorando il loro valore assoluto. Per la prima domanda che mi hai fatto devo essere sincero non so bene il motivo , sto cercando di capire osservando gli esercizi che ho già fatto , se potessi darmi una mano ! =)
"previ91":
Seconda cosa : da questo punto il mio prof. vorrebbe "trasformare" la funzione al denominatore ${sqrt{1 + cos\theta sen\theta}} $ facendola dipendere da $\rho$ e non da $\theta$ e bisogna maggiorarla ( o minorarla??) con il suo minimo quindi calcola la sua derivata prima e la annulla però mi sono un pò perso : qualche consiglio , suggerimento ??? Grazie mille
Direi che si può tagliare la testa al toro e scrivere così: $g(\theta) = sqrt{1 + cos\theta sen\theta} $ è una funzione continua della variabile $\theta \in [0, 2 \pi]$. Per il teorema di Weierstrass esiste il minimo di $g$ nell'intervallo $[0, 2 \pi]$, cioè esiste $\overline{\theta}$ tale che $sqrt{1 + cos\theta sen\theta} >= sqrt{1 + cos\overline{\theta} sen\overline{\theta}}$.
Tuttavia $g$ è a denominatore, quindi è necessario che $sqrt{1 + cos\theta sen\theta}$ sia strettamente positivo; e in effetti lo è, poiché $cos\theta sin\theta = -1$ non ha soluzione.
\[\displaystyle 0 \le \frac{\rho}{\sqrt{ 1 + cos\theta sin\theta }} \le \frac{\rho}{\sqrt{ 1 + cos\overline{\theta} sin\overline{\theta} }} = \frac{\rho}{m} \]
\(\displaystyle \frac{\rho}{m} \) tende a $0$ per $\rho \to 0$. Quindi, per il teorema del confronto, il limite è proprio $0$.
Ti ringrazio ora ci ragiono un pò su e proverò a farne altri grazie mille =)
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