Limite di funzione a due variabili xy
Ciao a tutti ragazzi, ho un problema con il seguente limite:
$ lim_((x,y) ->(0,0))sinxy(x^3-y^5)/(x^2-y^2)^2 $ io lo risolvo come di seguito $ sinxy->xy per (x,y)->(0,0) $ quindi l'argomento diventa $ sinxy(x^3-y^5)/(x^2-y^2)^2 =< xy(x^3-y^5)/(x^2-y^2)^2 $
Calcolando il limite con la restrizione lungo la retta $ y=x^2 $ ottengo che
$ lim_((x,x^2) ->(0,0))x^3(x^3-x^10)/(x^2-x^4)^2 $ che mi porta al risultato di $ 1/2 $
Se poi calcolo il limite per la retta $ y=x^3 $ ottengo che il limite è $ +oo $
Però dal libro, controllando le soluzioni, lui risolve il limite attraverso una maggiorante radiale (risultato = 0); invece io ho utlizzato una restrizione della funzione a una curva.
Mi chiedo dove ho sbagliato e quando devo utilizzare un metodo o l'altro
Grazei a tutti!
$ lim_((x,y) ->(0,0))sinxy(x^3-y^5)/(x^2-y^2)^2 $ io lo risolvo come di seguito $ sinxy->xy per (x,y)->(0,0) $ quindi l'argomento diventa $ sinxy(x^3-y^5)/(x^2-y^2)^2 =< xy(x^3-y^5)/(x^2-y^2)^2 $
Calcolando il limite con la restrizione lungo la retta $ y=x^2 $ ottengo che
$ lim_((x,x^2) ->(0,0))x^3(x^3-x^10)/(x^2-x^4)^2 $ che mi porta al risultato di $ 1/2 $
Se poi calcolo il limite per la retta $ y=x^3 $ ottengo che il limite è $ +oo $
Però dal libro, controllando le soluzioni, lui risolve il limite attraverso una maggiorante radiale (risultato = 0); invece io ho utlizzato una restrizione della funzione a una curva.
Mi chiedo dove ho sbagliato e quando devo utilizzare un metodo o l'altro
Grazei a tutti!
Risposte
usando le coordinate polari,ti riconduci al limite
$ lim_(rho -> 0)(rho^5cos^4thetasentheta-rho^7costhetasen^6theta )/(rho^4(cos^2theta-sen^2theta)^2)=0 $
$ lim_(rho -> 0)(rho^5cos^4thetasentheta-rho^7costhetasen^6theta )/(rho^4(cos^2theta-sen^2theta)^2)=0 $
Ok, fino a qua ci sono. Ma posso ottenere lo stesso risultato con il mio metodo?
scusa,ma qual è il tuo metodo,quello che ti ha portato ad un risultato sbagliato ?
Si, senza usare le coordinate polari...
studiare la funzione su 2 curve diverse può solo servire a dimostrare che il limite non esiste
"quantunquemente":
studiare la funzione su 2 curve diverse può solo servire a dimostrare che il limite non esiste
Aaannn capito! Ti ringrazio molto
Non devi per forza fare come ti dicono gli altri, puoi anche usare il tuo metodo, ma lo devi fare per bene.
Vabbè, in questo caso il risultato è pure corretto, ma in generale per non sbagliare devi fare uno sviluppo di Taylor del seno e tenere conto dell'errore. Ossia, siccome $\sin z=z+O(z^3)$, ottieni $\sin xy=xy+O(x^3y^3)$. Ripeto, in questo caso il termine di errore finisce per essere trascurabile, ma in generale non è detto che sia così.
I problemi che tu hai non sono a livello di metodi di analisi 2, ma proprio a livello di calcolo dei limiti per funzioni di una sola variabile. Ricalcola tutti questi limiti in $x$ con più attenzione e vedrai che troverai sempre $0$. Questo ti fa intuire che anche il limite in due variabili congiunte farà $0$. A questo punto, o passi in coordinate polari o cerchi di procurarti delle disuguaglianze che ti permettano di concludere con il teorema dei due carabinieri.
"Sossella":
Ciao a tutti ragazzi, ho un problema con il seguente limite:
$ lim_((x,y) ->(0,0))sinxy(x^3-y^5)/(x^2-y^2)^2 $ io lo risolvo come di seguito $ sinxy->xy per (x,y)->(0,0) $
Vabbè, in questo caso il risultato è pure corretto, ma in generale per non sbagliare devi fare uno sviluppo di Taylor del seno e tenere conto dell'errore. Ossia, siccome $\sin z=z+O(z^3)$, ottieni $\sin xy=xy+O(x^3y^3)$. Ripeto, in questo caso il termine di errore finisce per essere trascurabile, ma in generale non è detto che sia così.
Sicuro?
$ lim_((x,x^2) ->(0,0))x^3(x^3-x^10)/(x^2-x^4)^2 $ che mi porta al risultato di $ 1/2 $
Se poi calcolo il limite per la retta $ y=x^3 $ ottengo che il limite è $ +oo $Sicuro?
I problemi che tu hai non sono a livello di metodi di analisi 2, ma proprio a livello di calcolo dei limiti per funzioni di una sola variabile. Ricalcola tutti questi limiti in $x$ con più attenzione e vedrai che troverai sempre $0$. Questo ti fa intuire che anche il limite in due variabili congiunte farà $0$. A questo punto, o passi in coordinate polari o cerchi di procurarti delle disuguaglianze che ti permettano di concludere con il teorema dei due carabinieri.
"dissonance":
Non devi per forza fare come ti dicono gli altri, puoi anche usare il tuo metodo, ma lo devi fare per bene.
[quote="Sossella"]Ciao a tutti ragazzi, ho un problema con il seguente limite:
$ lim_((x,y) ->(0,0))sinxy(x^3-y^5)/(x^2-y^2)^2 $ io lo risolvo come di seguito $ sinxy->xy per (x,y)->(0,0) $
Vabbè, in questo caso il risultato è pure corretto, ma in generale per non sbagliare devi fare uno sviluppo di Taylor del seno e tenere conto dell'errore. Ossia, siccome $\sin z=z+O(z^3)$, ottieni $\sin xy=xy+O(x^3y^3)$. Ripeto, in questo caso il termine di errore finisce per essere trascurabile, ma in generale non è detto che sia così.
Sicuro?
$ lim_((x,x^2) ->(0,0))x^3(x^3-x^10)/(x^2-x^4)^2 $ che mi porta al risultato di $ 1/2 $
Se poi calcolo il limite per la retta $ y=x^3 $ ottengo che il limite è $ +oo $Sicuro?
I problemi che tu hai non sono a livello di metodi di analisi 2, ma proprio a livello di calcolo dei limiti per funzioni di una sola variabile. Ricalcola tutti questi limiti in $x$ con più attenzione e vedrai che troverai sempre $0$. Questo ti fa intuire che anche il limite in due variabili congiunte farà $0$. A questo punto, o passi in coordinate polari o cerchi di procurarti delle disuguaglianze che ti permettano di concludere con il teorema dei due carabinieri.[/quote]
Molto chiaro!! Grazie mille!
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