Limite di funzione a 2 variabili
Salve a tutti. Dalla definizione di limite a 2 variabili :
Si dice che f(x,y) tende a $l$ se per $(x,y)$ che tende a $(x0,y0)$ se, per ogni $epsilon > 0$, esiste un $delta > 0 $tale che :
$|f(x,y)-l|< epsilon$
per ogni $(x,y) != (x0,y0)$ e $|(x,y)-(x0,y0)|< delta$
cioè :
$0!=sqrt((x-x0)^2 + (y-y0)^2)
È analoga alla definizione di limite ad una variabile.
C'è un esempio svolto che verifica che il limite di :
$lim (x,y) -> (0,0) x^2/(sqrt(x^2+y^2)) = 0$
praticamente nell'esempio svolto viene fatta la seguente disueqazione (e non so perchè):
$0<= x^2/(sqrt(x^2+y^2)) <=( x^2+y^2)/(sqrt(x^2+y^2))$
$( x^2+y^2)/(sqrt(x^2+y^2))=sqrt((x)^2 + (y)^2)$
si deduce che per ogni $epsilon > 0$
$0<=f(x,y)
con $delta=epsilon$
Non capisco come mai viene fatta quella disuguaglianza e, come in altri esercizi, concludere che $sqrt(x^2+y^2) < delta$ (con $delta$ sempre in funzione di $epsilon$).
Vorrei capire perchè si effettua questa maggiorazione (se questo è il termine corretto).
Chi è disponibile a spiegarmi passo passo questo esempio svolto ? Grazie. =)
P.s. Dimenticavo. Studio dal "Elementi di Analisi Matematica II" e non mi viene tanto "comodo" per studiare come libro, se mi sapreste consigliare un testo che magari esprime le cose in modo più chiaro ve ne sarei grato. Grazie ancora.
Si dice che f(x,y) tende a $l$ se per $(x,y)$ che tende a $(x0,y0)$ se, per ogni $epsilon > 0$, esiste un $delta > 0 $tale che :
$|f(x,y)-l|< epsilon$
per ogni $(x,y) != (x0,y0)$ e $|(x,y)-(x0,y0)|< delta$
cioè :
$0!=sqrt((x-x0)^2 + (y-y0)^2)
È analoga alla definizione di limite ad una variabile.
C'è un esempio svolto che verifica che il limite di :
$lim (x,y) -> (0,0) x^2/(sqrt(x^2+y^2)) = 0$
praticamente nell'esempio svolto viene fatta la seguente disueqazione (e non so perchè):
$0<= x^2/(sqrt(x^2+y^2)) <=( x^2+y^2)/(sqrt(x^2+y^2))$
$( x^2+y^2)/(sqrt(x^2+y^2))=sqrt((x)^2 + (y)^2)$
si deduce che per ogni $epsilon > 0$
$0<=f(x,y)
con $delta=epsilon$
Non capisco come mai viene fatta quella disuguaglianza e, come in altri esercizi, concludere che $sqrt(x^2+y^2) < delta$ (con $delta$ sempre in funzione di $epsilon$).
Vorrei capire perchè si effettua questa maggiorazione (se questo è il termine corretto).
Chi è disponibile a spiegarmi passo passo questo esempio svolto ? Grazie. =)
P.s. Dimenticavo. Studio dal "Elementi di Analisi Matematica II" e non mi viene tanto "comodo" per studiare come libro, se mi sapreste consigliare un testo che magari esprime le cose in modo più chiaro ve ne sarei grato. Grazie ancora.
Risposte
$y^2 >= 0$, quindi $x^2 <= x^2 + y^2$.
Razionalizzando trovi che $x^2/(sqrt(x^2 + y^2))$ si maggiora con la norma $||P||$ (avendo posto $P = (x,y)$ ).
$AA epsilon > 0 , EE delta > 0 : AA P in RR^2 : 0 < ||P|| < delta$ si ha $|f(P) | < epsilon$.
Quindi, $AA epsilon > 0 $ , per la disuguaglianza di poc'anzi, prendendo $delta = epsilon$, hai che $0 <= f(P) <= ||P|| < epsilon$.
Razionalizzando trovi che $x^2/(sqrt(x^2 + y^2))$ si maggiora con la norma $||P||$ (avendo posto $P = (x,y)$ ).
$AA epsilon > 0 , EE delta > 0 : AA P in RR^2 : 0 < ||P|| < delta$ si ha $|f(P) | < epsilon$.
Quindi, $AA epsilon > 0 $ , per la disuguaglianza di poc'anzi, prendendo $delta = epsilon$, hai che $0 <= f(P) <= ||P|| < epsilon$.
Forse l'ultimo passaggio è poco chiaro (mi sembra che il problema per te sia lì)...
Fissato comunque un intorno del limite devi essere in grado di trovare un intorno del punto $(0,0)$ (una palla di $RR^2$) tale che, per tutti i punti dell'intorno eccettuato al più il punto $(0,0)$ stesso, deve valere che le immagini della tua $f$ cadano nell'intorno del limite preso in considerazione.
Devi rispondere alla domanda: "come scelgo $delta$ una volta fissato $epsilon$ in modo tale che venga verificata la definizione di limite? "
La disuguaglianza scritta ti dice, in simboli: $f( "B"_(RR^2) (0, epsilon) - {(0,0)} ) subseteq "B"_RR (0, epsilon)$.
Fissato comunque un intorno del limite devi essere in grado di trovare un intorno del punto $(0,0)$ (una palla di $RR^2$) tale che, per tutti i punti dell'intorno eccettuato al più il punto $(0,0)$ stesso, deve valere che le immagini della tua $f$ cadano nell'intorno del limite preso in considerazione.
Devi rispondere alla domanda: "come scelgo $delta$ una volta fissato $epsilon$ in modo tale che venga verificata la definizione di limite? "
La disuguaglianza scritta ti dice, in simboli: $f( "B"_(RR^2) (0, epsilon) - {(0,0)} ) subseteq "B"_RR (0, epsilon)$.
Sto pensando come se fosse il grafico di una funzione ad una variabile. Devo scegliere il $delta$ più piccolo dei 2 che trovo perchè nel caso di limite ad una varabile, una volta che sceglo un $epsilon$ arbitrario, ottengo un $x0+delta$ e $xo-delta$. Ora se la funzione è $f(x)=x$ i 2 delta sono uguali, invece se la funzione per esempio è $f(x)=x^2$, scelgo il delta più piccolo. Non so se sono stato chiaro per il fatto "dei 2 delta".
Oppure delta potrebbe essere il raggio della palla dato che nell'intorno non è compreso il raggio della palla stessa.
Ho le idee un pò confuse.
Oppure delta potrebbe essere il raggio della palla dato che nell'intorno non è compreso il raggio della palla stessa.
Ho le idee un pò confuse.
Allora quella maggiorazione puoi farla perchè hai che $y^2>=0$ quindi è come se applicassi la disuguaglianza triangolare considerando il termine $y^2$ proprio uguale a 0. Per quanto riguarda il $\delta$ per funzioni reali di variabile reale si ragionava in quel modo perchè si consideravano gli "intervalli" della retta reale, per funzioni di due variabili e, più in generale, per più variabili si considera la sfera ci centro il punto $x$ e raggio $\delta$ e si indica con: $B(x,\delta)$ quindi come puoi vedere qui non si parla di intervalli ma di "palle" (scusa se scrivo così ma è proprio quello il nome xD) 
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Sto provando ad immaginare il grafico e volevo farti una domanda un pò così. "Palla" inteso come sfera oppure inteso come circonferenza ?
Una palla aperta (o ball) in $RR^N$ di centro $a in RR^N$ e raggio $epsilon > 0$ è spesso denotata con la scrittura $B(a, epsilon)$ ed è ${ x in RR^N : ||x - a|| < epsilon }$; vale a dire l'insieme dei punti che distano da $a$ meno di epsilon.
In $RR$ una palla aperta è un intervallo aperto, in $RR^2$ è un cerchio privato della circonferenza, mentre in $RR^3$ è l'insieme dei punti interni ad una sfera. Poi l'intuizione geometrica sfugge per dimensioni superiore, tuttavia continuano a chiamarsi "palle" o "sfere".
In $RR$ una palla aperta è un intervallo aperto, in $RR^2$ è un cerchio privato della circonferenza, mentre in $RR^3$ è l'insieme dei punti interni ad una sfera. Poi l'intuizione geometrica sfugge per dimensioni superiore, tuttavia continuano a chiamarsi "palle" o "sfere".
A me interessa solo $R2$. Ritornando al discorso, vorrei sapere se la risposta che ho dato del $delta$ sia corretta.
No non è corretta se ti riferisci al caso $RR^2$ e se ti riferisci all'esericizio di cui stiamo discutendo! Una volta fissato il raggio della palla, quello è e basta. 
Per questo ti ho consigliato di usare nel limite le coordinate cartesiane, perchè cosi sei sicuro che $AA\rho$ hai che il limite esiste (se esiste). Mi sono spiegato ?
Per questo ti ho consigliato di usare nel limite le coordinate cartesiane, perchè cosi sei sicuro che $AA\rho$ hai che il limite esiste (se esiste). Mi sono spiegato ?
Non si capisce un granché. In pratica prendere $delta$ uguale ad $epsilon$ è una scelta che funziona, proprio perché:
Non serve cercare altri $delta$. Se prendi l'intorno del punto $(0,0)$ dello stesso raggio ( $epsilon$ ) dell'intorno del limite $0$ che hai fissato nel codominio ( $RR$ ) , allora hai la garanzia che tutti i punti del disco che ha raggio $epsilon$ vengano trasformati in punti dell'intervallo $(- epsilon , epsilon ) subseteq RR$ del codominio.
"Seneca":
[...] La disuguaglianza scritta ti dice, in simboli: $f( "B"_(RR^2) (0, epsilon) - {(0,0)} ) subseteq "B"_RR (0, epsilon)$.
Non serve cercare altri $delta$. Se prendi l'intorno del punto $(0,0)$ dello stesso raggio ( $epsilon$ ) dell'intorno del limite $0$ che hai fissato nel codominio ( $RR$ ) , allora hai la garanzia che tutti i punti del disco che ha raggio $epsilon$ vengano trasformati in punti dell'intervallo $(- epsilon , epsilon ) subseteq RR$ del codominio.
Vado assimilando il concetto. Essendo abituato con Matematica I, ora mi ci vuole del tempo. Vi ringrazio dell'enorme aiuto che mi avete dato.
Ciao ho aiutato la mia ragazza a fare lo stesso identico esercizio 
vedo che hai già ricevuto aiuto, ma non ti sono stati consigliati i testi su cui studiare...se studi ingegneria (come suppongo) puoi provare il Bramanti,Pagani,Salsa, oppure il Fusco-Marcellini-Sbordone. Non sono male
ho aiutato la mia ragazza a fare lo stesso identico esercizio vedo che hai già ricevuto aiuto, ma non ti sono stati consigliati i testi su cui studiare...se studi ingegneria (come suppongo) puoi provare il Bramanti,Pagani,Salsa, oppure il Fusco-Marcellini-Sbordone. Non sono male
Io studio sul Marcellini-Sbordone e su quello che ho difficoltà. Comunque proverò il Bramanti,Pagani, Salsa. Se mi dici il titolo del libro mi semplifichi la ricerca. Grazie.
Finché sei in due variabili puoi ancora vedere le cose... Proviamo a insistere ancora una volta:
sia $P = (x,y)$ come prima. Scritta la disuguaglianza:
$|f(P)| <= || P ||$
$||P||$ è la distanza del punto $P$ di $RR^2$ dall'origine $(0,0)$ (nel piano $x-y$, ovvero nel dominio),
mentre $|f(P)|$ è la distanza del numero reale $f(P)$ da $0$ (sull'asse $z$, quindi nel codominio).
Prendendo i punti del piano (il dominio della $f$) che distano meno di $epsilon$ da $(0,0)$, cioè $0 < || P ||< epsilon$ (lo $(0,0)$ escluso) , sai anche che $|f(P)| < epsilon$ e quindi le immagini $f(P)$ di questi punti distano a maggior ragione meno di $epsilon$ da $0$.
Buono studio.
sia $P = (x,y)$ come prima. Scritta la disuguaglianza:
$|f(P)| <= || P ||$
$||P||$ è la distanza del punto $P$ di $RR^2$ dall'origine $(0,0)$ (nel piano $x-y$, ovvero nel dominio),
mentre $|f(P)|$ è la distanza del numero reale $f(P)$ da $0$ (sull'asse $z$, quindi nel codominio).
Prendendo i punti del piano (il dominio della $f$) che distano meno di $epsilon$ da $(0,0)$, cioè $0 < || P ||< epsilon$ (lo $(0,0)$ escluso) , sai anche che $|f(P)| < epsilon$ e quindi le immagini $f(P)$ di questi punti distano a maggior ragione meno di $epsilon$ da $0$.
Buono studio.
P.S.: Devo dire che per quanto riguarda Analisi Matematica 2 non c'è nessun testo che mi abbia colpito particolarmente (sicuramente nessuno dei testi deturpati per il nuovo ordinamento).
Sì. Molto più chiaro rispetto a prima. Faccio un esempio per vedere se ho capito.
Se scegliessi P=(x,y)=(1,1) la sua norma sarebbe $sqrt(2)$, invece la f(P) sarebbe $1/sqrt(2)$.
$0<|P|
Se scegliessi P=(x,y)=(1,1) la sua norma sarebbe $sqrt(2)$, invece la f(P) sarebbe $1/sqrt(2)$.
$0<|P|
Siccome non sono abituato al formalismo matematico dei matematici, volevo sapere se esisteva una cosa più "da liceo" con grafici e schemini che aiutano alla compresione. Tutto qua.
Esatto. Seneca te l'ha spiegato riferendosi al metodo di risoluzione da te proposto ma se usi le coordinate polari te ne accorgi immediatamente
Alla fine non è nulla di nuovo rispetto a quello che fai in Analisi 1, quindi penso sia difficile trovare qualcosa "terra-terra" del genere per Analisi 2. In ogni caso nello scrivere la definizione $epsilon-delta$ di limite devi tener presente che la distanza tra due punti di $RR^2$ è la norma della differenza dei due (e non il valore assoluto come è in $RR$).
"Seneca":
Non serve cercare altri $delta$. Se prendi l'intorno del punto $(0,0)$ dello stesso raggio ( $epsilon$ ) dell'intorno del limite $0$ che hai fissato nel codominio ( $RR$ ) , allora hai la garanzia che tutti i punti del disco che ha raggio $epsilon$ vengano trasformati in punti dell'intervallo $(- epsilon , epsilon ) subseteq RR$ del codominio.
Cito @Seneca perchè è esattamente ciò che ti ho detto prima solo in modo più chiaro e riferendosi al metodo di risoluzione da te proposto. Se provi come ti ho detto io te ne accorgi immediatamente
P.S. chiedo scusa ho fatto confusione con i post XD. Quello di prima era riferito a questo.
In pratica non vado a considerare il valore assoluto di 2 punti ma la distanza fra i 2 punti (la loro norma). Comunque ho fatto una "prova" : prendendo valori appartenenti al dominio della funzione vicini a (0,0) vedo che questi "cadono" vicino allo 0 (al limite).
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