Limite di funzione!!

[bblack25]

Salve,
non riesco a capire se ho fatto bene questo limite in quanto il rusltato che mi esce è diverso da quello ottenuto con wolfram.
Potreste dargli uno sguardo?

$limx->0 (e^xsinx-log(1+x)cosx)/x^2$
$limx->0 (e^xsinx)/x^2-(log(1+x)cosx)/x^2$
$limx->0 (e^x/x) (sinx/x)-(log(1+x)/x) (cosx/x)$
Applicando i limiti notevoli ottengo:
$limx->0e^x/x-cosx/x$
Quindi sommando e sottraendo $1/x$ e riapplicando altri 2 limiti notevoli ottengo che $limx->0 loge=1$
che ne dite??

[theras]

Mi è sembrata un pò troppo ballerina l'algebra dei limiti che hai applicato per giustificare la quarta riga di codice;
per far le cose per bene,ed evitare troppi contacci,ti conviene aggiungere e sottrarre al numeratore $log(1+x)-sinx$,
per poi raggruppare opportunamente e comprendere come il tuo limite sia $1*1+0*1/2+lim_(x to 0)(sinx-log(1+x))/(x^2)$:
per quest'ultimo,sebbene non ne sia per nulla un fan,
ti consiglio d'applicare gli sviluppi di Taylor di $sinx$ e $log(1+x)$ arrestati,ovviamente,
ad infinitesimi d'ordine superiore a 2
(o in subordine,se non li conosci ancora,due volte De L'Hospital),
così da ottenere come converga ad $1/2$ e che,dunque,
quello di partenza e il $3/2$ che dovrebbe esserti saltato fuori da W.A...
Saluti dal web.

[aletort1]

Trovi la soluzione di questo esercizio a questo url: http://esercizirisolti.altervista.org/esercizi/es9.php.
Ciao

[theras]

Ciao ad entrambi!
Sarà il mio n($to +oo$..)-esimo fallimento nella mia campagna per un uso più "parsimonioso" degli sviluppi di Taylor
(non foss'altro perchè i contacci son di meno..),
ma ci provo ugualmente:

$EElim_(x to 0)(e^xsinx-log(1+x)cosx)/(x^2)=lim_(x to 0)((e^xsinx-sinx)+[log(1+x)-log(1+x)cosx]+[sinx-log(1+x)])/(x^2)=$
$=lim_(x to 0){(e^x-1)/x*(sinx)/x+log(1+x)*(1-cosx)/(x^2)+(x+o(x^2)-[x-(x^2)/2+o(x^2)])/(x^2)}=$
$=lim_(x to 0)[(e^x-1)/x*(sinx)/x+log(1+x)*(1-cosx)/(x^2)+(1/2x^2+o(x^2))/(x^2)]=$
$=lim_(x to 0){(e^x-1)/x*(sinx)/x+log(1+x)*(1-cosx)/(x^2)+[1/2+(o(x^2))/(x^2)]}=1*1+0*1/2+(1/2+0)=3/2$.

Saluti dal web.