Limite di funzione

[Primavera2]

Svolgendo uno studio di funzione mi sono ritrovato a dover calcolare questo limite:
$ lim_(x -> +oo ) ((2x^2+5x+2)/(x+2))-log(e^(2x)-4e^x+3) $

Ora provando a calcolare separatamente i due limiti cioè $ lim_(x -> +oo ) ((2x^2+5x+2)/(x+2))+ lim_(x -> +oo ) -log((e^(2x)-4e^x+3)) $
Applicando al primo limite De L'Hospital e al secondo le proprietà dei logaritmi per cui posso calcolare $ lim_(x -> +oo ) 1/(log(e^(2x)-4e^x+3)) $ ottengo rispettivamente $ +oo -0 $ ma il risultato dovrebbe essere 1.
Cosa sbaglio?

[Giuly191]

Mi sa che le proprietà dei logaritmi non le stai usando proprio nel modo giusto.. : $ -log(a/b)=log(b/a)$ e non quello che hai scritto tu.

[Primavera2]

Ah si giustissimo...solo che cosi verrebbe $ +oo-oo $ bho non saprei come andare avanti

[Giuly191]

Non è un limite proprio banale, io userei con attenzione gli sviluppi di Taylor. Fanno parte delle tue competenze?

[Seneca1]

No, dai, non serve Taylor.

$ lim_(x -> +oo ) ((2x^2+5x+2)/(x+2))-log(e^(2x)) - log( 1 - 4e^(-x)+3 e^(-2x)) $

$ = lim_(x -> +oo ) ((2x^2+5x+2)/(x+2)) - 2x - log( 1 - 4e^(-x)+3 e^(-2x)) $

e considerando che per $x \to + oo$ , $log( 1 - 4e^(-x)+3 e^(-2x)) \to 0$ hai da calcolare il limite di una funzione riconducibile ad una funzione razionale fratta...

$ = lim_(x -> +oo ) ((2x^2+5x+2)/(x+2)) - 2x $

Sbaglio?

[Giuly191]

No, così torna perfettamente.
Solo che non avendolo svolto, la mia paura era che si commettesse l'errore di dire che l'ultimo limite che hai scritto fosse $0$. Ma arrivando a scriverlo così è dura sbagliare in quel modo, quindi in effetti Taylor se ne può stare buono.

[Primavera2]

Si infatti anche sapendo sviluppare la funzione con Taylor bastava saper raccogliere bene...Grazie a tutti per i consigli

[Giuly191]

L'ultimo limite che ha scritto Seneca è $1$ quasi in modo banale, senza nessuna forma di indeterminazione.

[Primavera2]

Sisi ho avuto una svista...Dopo 3 ore di studio sono cotto