Limite di funzione

[Themirhaccio]

Vorrei ringraziare anticipatamente chiunque mi dia una mano a risolvere il mio problema. Ho questo limite:

$ lim_(x -> 0) (sqrt(4+x)-1 )^(1/(e^{x}-1) ) $

che ho già risolto attraverso gli sviluppini di o piccolo. (il risultato è $ e^{1/4} $ ) Quello che vorrei sapere sono i passaggi per risolverlo attraverso il metodo "standard", cioè manipolando la funzione per non avere più una forma indeterminata.

Ho utilizzato il metodo e-alla ottenendo

$ lim_(x -> 0) e^{1/(e^{x} - 1 ) ln (sqrt(4+x)-1) $

ma mi ritrovo con un logaritmo che non so come trattare. Ho provato a moltiplicarle e dividere l'argomento del logaritmo per $ (sqrt(4+x)+1) $ ma non sono arrivato da nessuna parte. Idem se porto fuori dal logaritmo $ (sqrt(4+x)) $.

Grazie mille!!

[@melia]

Applica il teorema dell'Hospital sull'esponente.

[Themirhaccio]

Grazie @melia (Sara?) per la risposta repentina.

Quello che mi intriga è questo, si può risolvere un tale limite senza passare per sviluppi, de l'hospital, etc etc? E se si che passaggi dovrei fare sul logaritmo?

Grazie per la pazienza!

[chiara.15011]

$ lim_(x -> 0) e^{1/(e^{x} - 1 ) ln (sqrt(4+x)-1))=e^(lim_(x -> 0)(1/(e^{x} - 1 ) ln (sqrt(4+x)-1)))=e^(lim_(x->0)((sqrt(4+x)-2)/x)$ poi razionalizzi e ti viene quel risultato

[Themirhaccio]

Grande Chiara!!!