Limite di funzione (75282)

[gohan22]

Lim x^2+5sinx /
x→0 3x- xcosx

Non riesco a risolvere questo limite di funzione! Potete spiegarmelo x favore? In quanto non ho mai fatto sin, cos e di questo tipo non so risolverli. La forma indeterminata è 0/0, però poi non so scomporlo! Certa di una vostra risposta, vi ringrazio anticipatamente!! =)

[ciampax]

Il metodo più semplice è ragionare per confronto di infinitesimi: dai limiti notevoli

[math]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}[/math]

si ricava la seguente equivalenza

[math]sin x\sim x,\qquad \cos x\sim 1-\frac{x^2}{2}[/math]

e ertanto il limite può essere riscritto come

[math]\lim_{x\to 0}\frac{x^2+5x}{3x-x+x^3/2}=\lim_{x\to 0}\frac{x(x+5)}{x(2+x/2)}=\\
\lim_{x\to 0}\frac{x+5}{2+x/2}=\frac{5}{2}[/math]

[BIT5]

Esiste un limite notevole..

[math] \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 [/math]

hai

[math] \lim_{x \to 0} \frac{x^2+5 \sin x}{x (3- \cos x) }[/math]

dividi numeratore e denominatore per x (ovvero moltiplichi per x/x) otterrai

[math] \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2+5 \sin x}{x}}{ \frac{x (3- \cos x)}{x} }[/math]

al numeratore:

[math] \frac{x^2+5 \sin x}{x} = \frac{x^2}{x} + 5 \frac{ \sin x}{x} [/math]

al denominatore la x che ho raccolto si semplifica

rimarra'

[math] \lim_{x \to 0} \frac{\no{x}^0 +5 \no{\frac{\sin x}{x}}^1}{3- \no{\cos x}^1} = \frac{5}{3-1} = \frac52 [/math]

in verita' potevi semplicemente raccogliere la x al denominatore e riscrivere il limite come

[math] \lim_{x \to 0} \frac{x^2 +5 \sin x}{x} \cdot \frac{1}{3- \cos x} = \lim_{x \to 0 } \frac{ x + 5 \frac{\sin x}{x}}{3- \cos x} [/math]

ottenendo lo stesso risultato

Aggiunto 1 minuto più tardi:

abbiamo risposto insieme :S

beh hai due modi diversi :)