Limite di funzione

[seba89sc]

salve, provando in vari modi non sono riuscito a risolvere questo limite di funzione:
$ lim_(x -> 0) ( 1/(xtanx) - cosx/x^2) $ innanzitutto ho sostituito la tanx= senx/cosx ma poi non riesco a continuare

[Seneca1]

$ lim_(x -> 0) ( x - sin(x) )/(x^2 tan(x))$

Ma $tan(x) sim x$ , per $x -> 0$.

Ed ora usi De L'Hospital o Taylor.

[Sk_Anonymous]

Devi usare gli sviluppi di McLaurin.

[Seneca1]

"Soscia":Devi usare gli sviluppi di McLaurin al primo ordine.

Al primo ordine?

[seba89sc]

grazie :D :D :D se faccio $ tan(x)simx$ e poi l'hopital mi viene giusto, ma con mclaurin non riesco a capire come fare, non è che perfavore mi potresti far vedere?

[Sk_Anonymous]

"Seneca":[quote="Soscia"]Devi usare gli sviluppi di McLaurin al primo ordine.

Al primo ordine?[/quote]
scusa Seneca, ho fatto l'esercizio e bisogna sviluppare almeno i primi due termini.
$lim x->0$ $(x-(x+x^3/3+o(x^3))(1-0.5x^2+o(x^2)))/(x^2(x+(1/3)x^3+o(x^3)))$. A te i conti.

[Seneca1]

$sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)$

$x^2 * tan(x) = x^2 * ( x + o(x) ) = x^3 + o(x^3)$

Allora avresti:

$ lim_(x -> 0) ( x - x + x^3/6 + o(x^3) )/(x^3 + o(x^3)) = lim_(x -> 0) ( 1/6 + (o(x^3))/x^3 )/(1 + (o(x^3))/x^3)$

Ma per definizione $(o(x^3))/x^3 -> 0$, per $x -> 0$.


Nota: Una cosa da NON fare assolutamente è la seguente:

Dire che $tan(x) sim x$ e $cos(x) sim 1$ per $x -> 0$, e fare una porcata del genere:

$ lim_(x -> 0) 1/(x tan(x)) - (cos(x))/x^2 = lim_(x -> 0) 1/x^2 - 1/x^2 = 0$

[ciampax]

Troppi sviluppi!!!!
[tex]$\tan x\sim x,\ \cos x\sim 1-\frac{x^2}{2}$[/tex] per cui

[tex]$\frac{1}{x\tan x}-\frac{\cos x}{x^2}\sim\frac{1}{x^2}-\frac{1-x^2/2}{x^2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2}$[/tex]

che tende a $1/2$

[seba89sc]

no, veramente il risultato dovrebbe venire $1/6$

[Sk_Anonymous]

"ciampax":Troppi sviluppi!!!!
[tex]$\tan x\sim x,\ \cos x\sim 1-\frac{x^2}{2}$[/tex] per cui

[tex]$\frac{1}{x\tan x}-\frac{\cos x}{x^2}\sim\frac{1}{x^2}-\frac{1-x^2/2}{x^2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2}$[/tex]

che tende a $1/2$

Ciampax, stavolta ti stai sbagliando , inserendo la funzione in un software il limite viene $1/6$.

[ciampax]

"Soscia":[quote="ciampax"]Troppi sviluppi!!!!
[tex]$\tan x\sim x,\ \cos x\sim 1-\frac{x^2}{2}$[/tex] per cui

[tex]$\frac{1}{x\tan x}-\frac{\cos x}{x^2}\sim\frac{1}{x^2}-\frac{1-x^2/2}{x^2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2}$[/tex]

che tende a $1/2$

Ciampax, stavolta ti stai sbagliando , inserendo la funzione in un software il limite viene $1/6$.[/quote]

E mi sa che c'hai ragione pure tu!
(Ok, forse se uno sta a letto con la febbre, deve evitare di scrivere cose di matematica!)

[Sk_Anonymous]

"ciampax":[quote="Soscia"][quote="ciampax"]Troppi sviluppi!!!!
[tex]$\tan x\sim x,\ \cos x\sim 1-\frac{x^2}{2}$[/tex] per cui

[tex]$\frac{1}{x\tan x}-\frac{\cos x}{x^2}\sim\frac{1}{x^2}-\frac{1-x^2/2}{x^2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2}$[/tex]

che tende a $1/2$

Ciampax, stavolta ti stai sbagliando , inserendo la funzione in un software il limite viene $1/6$.[/quote]

E mi sa che c'hai ragione pure tu!
(Ok, forse se uno sta a letto con la febbre, deve evitare di scrivere cose di matematica!)[/quote]
Beh, siamo umani, mica computer!...