Limite di funzione
Ciao a tutti, sono nuovo del forum, mi servirebbe un aiutino con un limite da cui proprio non riesco a venire fuori.. XD
$\lim_{x \to +\infty}sqrt(|4 - x^2|) + x$ e anche per meno infinito..
Non saprei come compartarmi con quel modulo, se provassi a raccogliere la $x$ e scrivere: $\lim_{x \to +\infty}x(sqrt(|4 - x^2|)/x + 1)$, posso dire che $sqrt(|4 - x^2|)/x$ ha l'argomento sotto radice neg. quindi diventa $sqrt(x^2 - 4)/x = x/x = 1$ ?? Così il limite andrebbe a $+\infty$.. Ma questo è in contrasto con il segno della funzione, perchè ponendo $f(x) > 0$ ed elevando al quadrato, ottengo (nel caso di argomento del modulo neg.): $x^2 - 4 > x^2$ quindi una disugluanza impossibile. Che porta ad avere segno negativo agli estremi.. Non ci capisc più nulla..
Grazie in anticipo a chi mi darà retta..
$\lim_{x \to +\infty}sqrt(|4 - x^2|) + x$ e anche per meno infinito..
Non saprei come compartarmi con quel modulo, se provassi a raccogliere la $x$ e scrivere: $\lim_{x \to +\infty}x(sqrt(|4 - x^2|)/x + 1)$, posso dire che $sqrt(|4 - x^2|)/x$ ha l'argomento sotto radice neg. quindi diventa $sqrt(x^2 - 4)/x = x/x = 1$ ?? Così il limite andrebbe a $+\infty$.. Ma questo è in contrasto con il segno della funzione, perchè ponendo $f(x) > 0$ ed elevando al quadrato, ottengo (nel caso di argomento del modulo neg.): $x^2 - 4 > x^2$ quindi una disugluanza impossibile. Che porta ad avere segno negativo agli estremi.. Non ci capisc più nulla..
Grazie in anticipo a chi mi darà retta..
Risposte
Non vorrei darti una amara notizia, ma sotto la radice tende tutto a più infinito, quindi quel limite vale semplicemente $+\infty$.
Ma magari il problema lo hai in $x\rightarrow-\infty$, in quanto ti si presenta una forma indeterminata $\infty-\infty$.
Ma magari il problema lo hai in $x\rightarrow-\infty$, in quanto ti si presenta una forma indeterminata $\infty-\infty$.
Scusa ma allora è sbagliato anche lo studio del segno della funzione ?
cmq si certo.. il vero problema è per meno infinito..
il punto è che sono piuttosto sicuro del segno della funzione..
Cmq per meno infinito, tornando al raccoglimento di prima, ed applicando Hopital, otterrei più infinito.. di nuovo in contrasto con il segno..XD
cmq si certo.. il vero problema è per meno infinito..
il punto è che sono piuttosto sicuro del segno della funzione..
Cmq per meno infinito, tornando al raccoglimento di prima, ed applicando Hopital, otterrei più infinito.. di nuovo in contrasto con il segno..XD
se $x->-oo$ hai la differenza di due infiniti dello stesso ordile e quindi il risultato è 0
scusa ma appunto perchè ho la differenza di 2 infiniti si presenta una forma indeterminata..XD
Questo limite si risolve così:
$\lim_{x\rightarrow -\infty}(\sqrt{|4-x^2|}+x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{|4-x^2|-x^2}{\sqrt{|4-x^2|}-x}=$
poiché per $|x|\rightarrow\infty$ si ha $4-x^2<0$
$=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2-4-x^2}{\sqrt{|4-x^2|}-x}=0^-$.
EDIT: ho letto ora quello che ha scritto serpo! Ascoltami, giovine, non andare in giro per questo forum a dire stupidate, grazie!
$\lim_{x\rightarrow -\infty}(\sqrt{|4-x^2|}+x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{|4-x^2|-x^2}{\sqrt{|4-x^2|}-x}=$
poiché per $|x|\rightarrow\infty$ si ha $4-x^2<0$
$=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2-4-x^2}{\sqrt{|4-x^2|}-x}=0^-$.
EDIT: ho letto ora quello che ha scritto serpo! Ascoltami, giovine, non andare in giro per questo forum a dire stupidate, grazie!
ah si giusto grazie.. avevo dimenticato di riportare la radice nel calcolo de l' Hopital.. XD
Però rimane ancora il problema del segno, cioè: se svolgesi in maniera "meccanica" i calcoli, otterrei (per $x >=2$ e $x <=-2$) $sqrt(|x^2 - 4|) + x > 0$ quindi $-> x^2 - 4 > x^2 $ da cui risulta $ -4>0$ quindi una funzione sempre negativa per $x >=2$ e $x <=-2$
Invece se procedendo con un minimo di ragionamento di vede che per $x >= 2$ tutti i termini sono positivi, quindi la funz. è positiva. Mentre per $x <= -2$ si ha necessariamente il ragionamento "meccanico" riportato prima.
In questo modo i risultati dei limiti sono giustificati. Ma questa distinzione dei 2 segni, non dovrebbe comparire in qualche modo applicando la semplice regoletta $f(x) > 0$, senza doverci ragionarci sopra ?
Però rimane ancora il problema del segno, cioè: se svolgesi in maniera "meccanica" i calcoli, otterrei (per $x >=2$ e $x <=-2$) $sqrt(|x^2 - 4|) + x > 0$ quindi $-> x^2 - 4 > x^2 $ da cui risulta $ -4>0$ quindi una funzione sempre negativa per $x >=2$ e $x <=-2$
Invece se procedendo con un minimo di ragionamento di vede che per $x >= 2$ tutti i termini sono positivi, quindi la funz. è positiva. Mentre per $x <= -2$ si ha necessariamente il ragionamento "meccanico" riportato prima.
In questo modo i risultati dei limiti sono giustificati. Ma questa distinzione dei 2 segni, non dovrebbe comparire in qualche modo applicando la semplice regoletta $f(x) > 0$, senza doverci ragionarci sopra ?
Punto primo: dova hai visto che ho applicato de l'Hopital???? Io ho antirazionalizzato!
Punto due: la disequazione $\sqrt{|4-x^2|}\ge -x$ equivale ai due sistemi
${(-x<0),(|4-x^2|\ge 0):}$ e ${(-x\ge 0), (|4-x^2|\ge x^2):}$.
Il primo ha come soluzione $x>0$, mentre il secondo equivale ai due sistemi
${(x\le 0),(4-x^2\ge 0),(4-x^2\ge x^2):}$ e ${(x\le 0),(4-x^2<0),(-4+x^2\ge x^2):}$.
Il secondo non ammette soluzioni (l'ultima disequazione viene $-4\ge 0$ che è assurda) mentre il primo, avendo le tre disequazioni soluzioni rispettive
$x\le 0,\qquad -2\le x\le 2,\qquad -\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}$, ammette come soluzione $-\sqrt{2}\le x\le 0$.
Quindi la soluzione della disequazione proposta originariamente è $x\ge -\sqrt{2}$, ottenuta unendo le soluzioni precedenti.
Punto due: la disequazione $\sqrt{|4-x^2|}\ge -x$ equivale ai due sistemi
${(-x<0),(|4-x^2|\ge 0):}$ e ${(-x\ge 0), (|4-x^2|\ge x^2):}$.
Il primo ha come soluzione $x>0$, mentre il secondo equivale ai due sistemi
${(x\le 0),(4-x^2\ge 0),(4-x^2\ge x^2):}$ e ${(x\le 0),(4-x^2<0),(-4+x^2\ge x^2):}$.
Il secondo non ammette soluzioni (l'ultima disequazione viene $-4\ge 0$ che è assurda) mentre il primo, avendo le tre disequazioni soluzioni rispettive
$x\le 0,\qquad -2\le x\le 2,\qquad -\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}$, ammette come soluzione $-\sqrt{2}\le x\le 0$.
Quindi la soluzione della disequazione proposta originariamente è $x\ge -\sqrt{2}$, ottenuta unendo le soluzioni precedenti.
ah ok.. nono per Hopital dico il ragionamento che avevo fatto io..
Io invece ho ragionato in un'altra maniera, ossia
1° - ho analizzato il modulo
$ |4-x^2|={(4-x^2, x^2<=4), (x^2-4, x^2>4) :} $ Sicché, per $ x \to -\infty $ considero la funzione $ x^2-4 $ per $ x in (-\infty, -2) uu (2, +\infty) $
2° - il limite diventa
$ \lim_{x \to -\infty} \sqrt(x^2-4) + x = \lim_{x \to - \infty} (-4)/(\sqrt(x^2-4)-x)$. Ora, per $ \x \to -\infty $, $ \sqrt(x^2-4) - x \sim \sqrt(x^2)=|x| $. Sicché il limite diventa
$ \lim_{x \to - \infty} (- 4)/|x| = \lim_{x \to - \infty} (- 4)/(-x) = \lim_{x \to - \infty} 4/x=0 $
ok?
1° - ho analizzato il modulo
$ |4-x^2|={(4-x^2, x^2<=4), (x^2-4, x^2>4) :} $ Sicché, per $ x \to -\infty $ considero la funzione $ x^2-4 $ per $ x in (-\infty, -2) uu (2, +\infty) $
2° - il limite diventa
$ \lim_{x \to -\infty} \sqrt(x^2-4) + x = \lim_{x \to - \infty} (-4)/(\sqrt(x^2-4)-x)$. Ora, per $ \x \to -\infty $, $ \sqrt(x^2-4) - x \sim \sqrt(x^2)=|x| $. Sicché il limite diventa
$ \lim_{x \to - \infty} (- 4)/|x| = \lim_{x \to - \infty} (- 4)/(-x) = \lim_{x \to - \infty} 4/x=0 $
ok?
grossomodo coincide con quanto scritto da ciampax.
hai però dimenticato un fattore 2 al denominatore (ricorda che oltre alla radice c'era anche -x) ... poi il risultato ovviamente coincide perché è 0 ...
hai però dimenticato un fattore 2 al denominatore (ricorda che oltre alla radice c'era anche -x) ... poi il risultato ovviamente coincide perché è 0 ...
ah certo, grazie sei stato chiarissimo.
prego.
la risposta sul fattore 2 si riferiva all'ultimo post di Aliseo ... mica sei sempre tu?
la risposta sul fattore 2 si riferiva all'ultimo post di Aliseo ... mica sei sempre tu?
"adaBTTLS":
prego.
la risposta sul fattore 2 si riferiva all'ultimo post di Aliseo ... mica sei sempre tu?
In che senso sono sempre io ? cmq il grazie era per Aliseo..XD
ok. allora non siete la stessa persona.
dicevo perché anch'io avevo risposto ad Aliseo...
dicevo perché anch'io avevo risposto ad Aliseo...
hey @AdaBTTLS, non capisco perché al denominatore ci deve essere il fattore $2$ 
@andra_zx: prego
@andra_zx: prego
ah si, mi ero scordato del $-x$ ... giusto!
"adaBTTLS":
grossomodo coincide con quanto scritto da ciampax.
hai però dimenticato un fattore 2 al denominatore (ricorda che oltre alla radice c'era anche -x) ... poi il risultato ovviamente coincide perché è 0 ...
sì, Aliseo, era questo il motivo.
grazie, Sergio, per aver risposto al posto mio.
effettivamente sembra uno "scarabocchio artistico"!
se non fosse per i riferimenti ipertestuali, direi che sembra fatto a mano...
se non fosse per i riferimenti ipertestuali, direi che sembra fatto a mano...
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