Limite di funzione
Ciao a tutti, non riesco a trovare il procedimento per risolvere il seguente limite:
$lim _(x->infty) x^3(arctg(x)-pi/2+1/x)$
Grazie!
$lim _(x->infty) x^3(arctg(x)-pi/2+1/x)$
Grazie!
Risposte
Devi risolverlo con i limiti notevoli? Con De l'Hopital verrebbe alla prima.
Io avevo pensato a:
$lim _(x->infty) (x^4arctg(x)-pi*x^4+2)/(2x) $
e poi applico l'hopital, solo che non sono nel caso $0/0$ e neanche in quello $infty/infty$
$lim _(x->infty) (x^4arctg(x)-pi*x^4+2)/(2x) $
e poi applico l'hopital, solo che non sono nel caso $0/0$ e neanche in quello $infty/infty$
Se devi applicare de l'Hopital puoi fare così:
$lim_{x \rightarrow \infty}\frac{"arctg"(x)-\frac{\pi}{2}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^3}}$
Deriva ora sopra e sotto, almeno a occhio, mi sembra che venga subito.
$lim_{x \rightarrow \infty}\frac{"arctg"(x)-\frac{\pi}{2}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^3}}$
Deriva ora sopra e sotto, almeno a occhio, mi sembra che venga subito.
secondo me fa 0...
la prima parte $x^3$ fa chiaramente infinito... quindi te ne puoi fregare per il momento...
passi al secondo fattore...
l'arctg all'infinito fa $pi/2$ che sottratto a $pi/2$ fa 0... $1/x$ fa 0... quindi il secondo fattore fa 0...
se moltiplichi qualsiasi cosa per 0 fa 0...
quindi il risultato è 0...
la prima parte $x^3$ fa chiaramente infinito... quindi te ne puoi fregare per il momento...
passi al secondo fattore...
l'arctg all'infinito fa $pi/2$ che sottratto a $pi/2$ fa 0... $1/x$ fa 0... quindi il secondo fattore fa 0...
se moltiplichi qualsiasi cosa per 0 fa 0...
quindi il risultato è 0...
"Lammah":
secondo me fa 0...
la prima parte $x^3$ fa chiaramente infinito... quindi te ne puoi fregare per il momento...
passi al secondo fattore...
l'arctg all'infinito fa $pi/2$ che sottratto a $pi/2$ fa 0... $1/x$ fa 0... quindi il secondo fattore fa 0...
se moltiplichi qualsiasi cosa per 0 fa 0...
quindi il risultato è 0...
Non so quale sia il risultato, non ho fatto il conto, ma $\infty \cdot 0$ è una forma indeterminata.
il limite vale 1/3
Se non ho sbagliato a fare i conti il risultato dovrebbe essere $\frac{1}{3}$.
"Tipper":
[quote="Lammah"]secondo me fa 0...
la prima parte $x^3$ fa chiaramente infinito... quindi te ne puoi fregare per il momento...
passi al secondo fattore...
l'arctg all'infinito fa $pi/2$ che sottratto a $pi/2$ fa 0... $1/x$ fa 0... quindi il secondo fattore fa 0...
se moltiplichi qualsiasi cosa per 0 fa 0...
quindi il risultato è 0...
Non so quale sia il risultato, non ho fatto il conto, ma $\infty \cdot 0$ è una forma indeterminata.[/quote]
uffa
$lim_(x->infty)((x^4arctg(x)-pix^4+2)/(2x))=lim_(x->infty)(x^4((arctg(x))-pi+2/x^4)/(2x))=lim_(x->infty)(x^3(arctg(x)-pi+2/x^4)/(2))=lim_(x->infty)((x^3)/2)((arctg(x))-pi+2/x^4))=$
dato che $lim_(x->infty)arctg(x)=pi/2$
$lim_(x->infty)((x^3)/2)lim_(x->infty)((arctg(x))-pi+2/x^4))=infty(pi/2-pi)=-infty$
Così non scomodiamo de l'hopital!
dato che $lim_(x->infty)arctg(x)=pi/2$
$lim_(x->infty)((x^3)/2)lim_(x->infty)((arctg(x))-pi+2/x^4))=infty(pi/2-pi)=-infty$
Così non scomodiamo de l'hopital!
"geminis":
$lim_(x->infty)((x^4arctg(x)-pix^4+2)/(2x))$
da dove esce?
scusami,ho calcolato il limite del tuo secondo post che è diverso da quello del primo...
il risultato del primo è $1/3$
il risultato del primo è $1/3$
Ok, ho appilcato l'hospital e torna $1/3$, solo che da solo non avrei mai pensato di poter portare $x^3$ sotto forma di $1/x^3$. Grazie!
Mi è capitato per le mani un altro esercizio del genere precedente:
$lim _(x->1) ((x-1)/(x+1))tan(pi/2x)$
faccio in modo di poter applicare l'hopital mettendolo così
$lim _(x->1) (tan(pi/2x))/[(x+1)/(x-1)]$
Arrivato a questo applico l'hopital per 3 volte, ma non mi torna... deve tornare $-1/pi$. Qualcuno potrebbe farmi vedere i passaggi? Grazie!
$lim _(x->1) ((x-1)/(x+1))tan(pi/2x)$
faccio in modo di poter applicare l'hopital mettendolo così
$lim _(x->1) (tan(pi/2x))/[(x+1)/(x-1)]$
Arrivato a questo applico l'hopital per 3 volte, ma non mi torna... deve tornare $-1/pi$. Qualcuno potrebbe farmi vedere i passaggi? Grazie!
invece di applicare l'hopital, prova a vedere la tangente come seno su coseno e usa gli asintotici
"Ziko":
Mi è capitato per le mani un altro esercizio del genere precedente:
$lim _(x->1) ((x-1)/(x+1))tan(pi/2x)$
faccio in modo di poter applicare l'hopital mettendolo così
$lim _(x->1) (tan(pi/2x))/[(x+1)/(x-1)]$
Arrivato a questo applico l'hopital per 3 volte, ma non mi torna... deve tornare $-1/pi$. Qualcuno potrebbe farmi vedere i passaggi? Grazie!
fai la sostituzione $x-1=t$, se $x->1->t->0$ per cui
$lim _(x->1) ((x-1)/(x+1))tan(pi/2x)=lim_(t->0)t/(t+2)*tg(pi/2*t+pi/2)=lim_(t->0)t/(t+2)*(-cotg(pi/2*t))=lim_(t->0)t/(t+2)*(-1/(tg(pi/2*t)))$
=$-lim_(t->0)-2/(pi)*1/(t+2)*(pi/2*t)/((tg(pi/2*t)))=-1/(pi)$ ricordando il limite notevole $lim_(t->0)(pi/2*t)/((tg(pi/2*t)))=1$
beh visto che è bello scomodare anche De L'Hopital (visto che non penso abbia molto da fare ultimamente) se vuoi ti propongo quest'altra soluzione:
$lim_(x->1) (x-1)/(x+1) tg((/2)x)= lim_(x->1) (x-1)/(x+1) (sin/cos)((/2)x)$
$=lim_(x->1) ((x-1)sin((/2)x))/ ((x+1)cos((/2)x)) =$
applicando De L'Hopital a quest'ultima forma indeterminata 0/0 ottengo:
$=lim_(x->1) (sin((/2)x)+(x-1)cos((/2)x)(/2))/(cos((/2)x)-(x+1)sin((/2)x)(/2)) =$
che sostituendo al tutto il valore di tendenza si ottiene:
$1/(-2 (/2) 1) = -1/$
se ho scritto qualche castroneria lapidatemi pure
$lim_(x->1) (x-1)/(x+1) tg((/2)x)= lim_(x->1) (x-1)/(x+1) (sin/cos)((/2)x)$
$=lim_(x->1) ((x-1)sin((/2)x))/ ((x+1)cos((/2)x)) =$
applicando De L'Hopital a quest'ultima forma indeterminata 0/0 ottengo:
$=lim_(x->1) (sin((/2)x)+(x-1)cos((/2)x)(/2))/(cos((/2)x)-(x+1)sin((/2)x)(/2)) =$
che sostituendo al tutto il valore di tendenza si ottiene:
$1/(-2 (/2) 1) = -1/$
se ho scritto qualche castroneria lapidatemi pure
pare che non ti si lapidi stavolta
non ti preoccupare, ci saranno tante altre occasioni!
...e poi lo so che scaglieresti più che volentieri la prima pietra !
...e poi lo so che scaglieresti più che volentieri la prima pietra !
eheh, no non ti preoccupare, non l'avrei fatto comunque, non sono senza peccato 
Ottimo grazie!
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