Limite di funzione

[ciaomammalolmao]

Ciao a tutti vi vorrei chiedere come svolgere il seguente limite
$lim_(x->0)(cos(sinh(x))-cosh(sin(x)))/(e^sqrt(x)-5^sqrt(x))^4$
Ho provato a sviluppare con taylor il numeratore e mi viene $-x^2+o(x2)$ ma non sono sicuro di aver fatto bene. Il denominatore ho provato a farlo ricavandomi un limite notevole ma alla fine anche se mi viene un valore è diverso dal risultato, che dev’essere 0.

[pilloeffe]

Ciao ciaomammalolmao,

"ciaomammalolmao":alla fine anche se mi viene un valore è diverso dal risultato, che dev’essere 0.

Sicuro? A me risulta

$ \lim_{x \to 0}(cos(sinh(x))-cosh(sin(x)))/(e^sqrt(x)-5^sqrt(x))^4 = - 1/(ln5 - 1)^4 $

[ciaomammalolmao]

Anche a me viene così, quindi dici che è sbagliato il libro? Il denominatore non si può sviluppare in zero vero?

[pilloeffe]

"ciaomammalolmao":Anche a me viene così, quindi dici che è sbagliato il libro?

Eh, a questo punto qualche sospetto mi viene...

"ciaomammalolmao":Il denominatore non si può sviluppare in zero vero?

Per il denominatore farei così:

$ \lim_{x \to 0}(cos(sinh(x))-cosh(sin(x)))/(e^{\sqrt x}-5^{\sqrt x})^4 = \lim_{x \to 0}(cos(sinh(x))-cosh(sin(x)))/(e^{\sqrt x} - 1 - (5^{\sqrt x} - 1))^4 = $

$ = \lim_{x \to 0}(cos(sinh(x)) - cosh(sin(x)))/x^2 \cdot 1/((e^{\sqrt x} - 1)/(\sqrt x) - (5^sqrt(x) - 1)/(\sqrt x))^4 = $

$ = \lim_{x \to 0}1/((e^{\sqrt x} - 1)/(\sqrt x) - (5^sqrt(x) - 1)/(\sqrt x))^4 \cdot \lim_{x \to 0}(cos(sinh(x)) - cosh(sin(x)))/x^2 = $

$ = 1/(1 - ln5)^4 \cdot (- 1) = - 1/(ln5 - 1)^4 $

[ciaomammalolmao]

Ho capito grazie mille, sì ho chiesto anche ad altra gente e viene a tutti in questo modo, però ho una domanda. Il limite notevole $lim_(x->0)(a^x-1)/x=lna$ non deriva dallo sviluppo di taylor al primo ordine? Perché anche se con la radice non lo posso sviluppare il limite notevole posso farlo comunque?

[axpgn]

'ché? non ti fidi?

[pilloeffe]

"ciaomammalolmao":Perché anche se con la radice non lo posso sviluppare il limite notevole posso farlo comunque?

In effetti concordo con Alex, non è che si capisca molto la domanda...
Comunque si ha:

$(5^t - 1)/t = ln5 + 1/2 t ln^2 5 + 1/6 t^2 ln^3 5 + 1/24 t^3 ln^4 5 + o(t^4) $

Quindi ponendo $t := \sqrt x $ si ha:

$(5^{\sqrt x} - 1)/\sqrt x = ln5 + 1/2 \sqrt x ln^2 5 + 1/6 x ln^3 5 + 1/24 x^{3/2} ln^4 5 + o(x^2) $

[ciaomammalolmao]

Scusate sono fuso mi sono espresso male, comunque ho capito grazie mille a tutti