Limite di funzione
Qualcuno mi può aiutare con questo limite. Raccolgo \( x^2 \) ma poi non riesco a capire come proseguire.
\( \lim_{x\rightarrow +∞} \frac{x^4sen^2(\pi-2\arctan x) }{3+x^2} \)
\( \lim_{x\rightarrow +∞} \frac{x^4sen^2(\pi-2\arctan x) }{3+x^2} \)
Risposte
inizia da qui $ \arctan(x)+\arctan(1/x)=\pi/2 $
quindi tu hai $ \lim_(x\to +\infty)f(x) $
$ f(x)=(x^4\sin^2(\pi-2\arctan(x)))/(3+x^2) $
con quella formula si ha
$ (x^4\sin^2(\pi-2(\arctan(1/x)+\pi/2)))/(3+x^2)=(x^4\sin^2(\pi-2\arctan(1/x)-\pi))/(3+x^2) $
quindi
$ \lim_(x\to +\infty)(x^4\sin^2(\pi-2\arctan(1/x)-\pi))/(3+x^2)=... $
continua tu
quindi tu hai $ \lim_(x\to +\infty)f(x) $
$ f(x)=(x^4\sin^2(\pi-2\arctan(x)))/(3+x^2) $
con quella formula si ha
$ (x^4\sin^2(\pi-2(\arctan(1/x)+\pi/2)))/(3+x^2)=(x^4\sin^2(\pi-2\arctan(1/x)-\pi))/(3+x^2) $
quindi
$ \lim_(x\to +\infty)(x^4\sin^2(\pi-2\arctan(1/x)-\pi))/(3+x^2)=... $
continua tu
E' evidente che tutto si riduce a calcolare il limite di \(x\mapsto x \sin(\pi-2\arctan x)\) per \(x\to \infty\), e tenendo a mente che \(\arctan x \underset{x\to\infty}\asymp \frac{\pi}{2}-\frac{1}{x}\) diventa un limite piuttosto facile.
Scusami per gli scarabocchi, non so se riesci a capire. Io l'ho risolta così.
Ho semplificato il seno poi ho eliminato \( x^2 \) e moltiplicato per \( 1/x \)
in modo da eliminare la x a numeratore e poter applicare de l'hopital.
come hai semplificato il seno?
comunque ho provato con quello di zuclo21 e funziona, perchè per x che tende a infinito è un seno di zero, quindi si può utilizzare taylor etc
comunque ho provato con quello di zuclo21 e funziona, perchè per x che tende a infinito è un seno di zero, quindi si può utilizzare taylor etc
Ciao a tutti,
Onestamente non ravviso la necessità di usare altro che non siano i limiti notevoli...
Proseguo dall'ultimo passaggio di 21zuclo:
$ lim_{x\to +\infty} (x^4\sin^2[\pi-2\arctan(1/x)-\pi])/(3+x^2) = lim_{x\to +\infty} (x^2\sin^2[-2\arctan(1/x)])/(3/x^2+1) = $
$ = lim_{x\to +\infty} \frac{1}{3/x^2+1} \cdot \frac{\sin^2[-2\arctan(1/x)]}{[-2\arctan(1/x)]^2} \cdot frac{[-2\arctan(1/x)]^2}{1/x^2} = $
$ = 4 \cdot lim_{x\to +\infty} \frac{1}{3/x^2+1} \cdot \frac{\sin^2[-2\arctan(1/x)]}{[-2\arctan(1/x)]^2} \cdot frac{[\arctan(1/x)]^2}{1/x^2} = 4 \cdot frac{1}{0 + 1} \cdot 1 \cdot 1 = 4 $
Onestamente non ravviso la necessità di usare altro che non siano i limiti notevoli...
Proseguo dall'ultimo passaggio di 21zuclo:
$ lim_{x\to +\infty} (x^4\sin^2[\pi-2\arctan(1/x)-\pi])/(3+x^2) = lim_{x\to +\infty} (x^2\sin^2[-2\arctan(1/x)])/(3/x^2+1) = $
$ = lim_{x\to +\infty} \frac{1}{3/x^2+1} \cdot \frac{\sin^2[-2\arctan(1/x)]}{[-2\arctan(1/x)]^2} \cdot frac{[-2\arctan(1/x)]^2}{1/x^2} = $
$ = 4 \cdot lim_{x\to +\infty} \frac{1}{3/x^2+1} \cdot \frac{\sin^2[-2\arctan(1/x)]}{[-2\arctan(1/x)]^2} \cdot frac{[\arctan(1/x)]^2}{1/x^2} = 4 \cdot frac{1}{0 + 1} \cdot 1 \cdot 1 = 4 $
o più semplicemente usare l'asintotico
siamo arrivati qui $ \lim_(x\to +\infty) (x^4\sin^2(-2\arctan(1/x)))/(3+x^2) $
si ha che per $ x\to 0 $ \( \sin(x)\sim x \)
quindi qui si ha per $x\to +\infty$
\( (\sin(-2\arctan(1/x))^2 \sim (-2\arctan(1/x))^2\sim 4\arctan^2(1/x)\sim 4 \frac{1}{x^2} \)
quindi si ha che
per $x\to +\infty$
$ \lim_(x\to +\infty) (x^4\sin^2(-2\arctan(1/x)))/(3+x^2) $ \( \sim \frac{x^4\frac{4}{x^2}}{3+x^2} \) $\to 4$
siamo arrivati qui $ \lim_(x\to +\infty) (x^4\sin^2(-2\arctan(1/x)))/(3+x^2) $
si ha che per $ x\to 0 $ \( \sin(x)\sim x \)
quindi qui si ha per $x\to +\infty$
\( (\sin(-2\arctan(1/x))^2 \sim (-2\arctan(1/x))^2\sim 4\arctan^2(1/x)\sim 4 \frac{1}{x^2} \)
quindi si ha che
per $x\to +\infty$
$ \lim_(x\to +\infty) (x^4\sin^2(-2\arctan(1/x)))/(3+x^2) $ \( \sim \frac{x^4\frac{4}{x^2}}{3+x^2} \) $\to 4$
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