Limite di funzione
Sia $ alpha in R$. Discutere
$ lim_(x -> ∞) ((x^3-x^alpha)/(x^3+senx+x))^x $
Non so proprio dove mettere mano..
$ lim_(x -> ∞) ((x^3-x^alpha)/(x^3+senx+x))^x $
Non so proprio dove mettere mano..
Risposte
Aggiungo anche una cosa, so che è una scemenza ma non mi viene
$ lim_(x -> ∞) sen(sqrt(x+1))-sen(sqrt(x)) $
$ lim_(x -> ∞) sen(sqrt(x+1))-sen(sqrt(x)) $
Ciao daenerys,
Si ha:
$ lim_{x \to infty} ((x^3-x^alpha)/(x^3+sinx+x))^x = lim_{x \to infty} ((x^3 + sin x + x - x^alpha - sin x - x)/(x^3+sinx+x))^x = $
$ = lim_{x \to infty} (1 - (x^alpha + sin x + x)/(x^3+sinx+x))^x = lim_{x \to infty} (1 + 1/{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x}})^x = $
$ = lim_{x \to infty} [(1 + 1/{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x} })^{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x}}]^{- (x^{\alpha + 1} + x sin x + x^2)/(x^3+sinx+x)} = $
$ = lim_{x \to infty} [(1 + 1/{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x} })^{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x}}]^{- (x^{\alpha - 2} + sin x/x^2 + 1/x^3)/(1+sinx/x^3+1/x^2)} $
Ciò che sta dentro le parentesi quadre è un limite notevole del tipo $lim (1 + 1/f(x))^{f(x)} $ che sappiamo che vale $e $ se $f(x) \to infty $, quindi devi vedere quando ciò accade a seconda del valore di $\alpha \in \RR $
Si ha:
$ lim_{x \to infty} ((x^3-x^alpha)/(x^3+sinx+x))^x = lim_{x \to infty} ((x^3 + sin x + x - x^alpha - sin x - x)/(x^3+sinx+x))^x = $
$ = lim_{x \to infty} (1 - (x^alpha + sin x + x)/(x^3+sinx+x))^x = lim_{x \to infty} (1 + 1/{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x}})^x = $
$ = lim_{x \to infty} [(1 + 1/{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x} })^{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x}}]^{- (x^{\alpha + 1} + x sin x + x^2)/(x^3+sinx+x)} = $
$ = lim_{x \to infty} [(1 + 1/{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x} })^{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x}}]^{- (x^{\alpha - 2} + sin x/x^2 + 1/x^3)/(1+sinx/x^3+1/x^2)} $
Ciò che sta dentro le parentesi quadre è un limite notevole del tipo $lim (1 + 1/f(x))^{f(x)} $ che sappiamo che vale $e $ se $f(x) \to infty $, quindi devi vedere quando ciò accade a seconda del valore di $\alpha \in \RR $
"pilloeffe":
Ciao daenerys,
Si ha:
$ lim_{x \to infty} ((x^3-x^alpha)/(x^3+sinx+x))^x = lim_{x \to infty} ((x^3 + sin x + x - x^alpha - sin x - x)/(x^3+sinx+x))^x = $
$ = lim_{x \to infty} (1 - (x^alpha + sin x + x)/(x^3+sinx+x))^x = lim_{x \to infty} (1 + 1/{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x}})^x = $
$ = lim_{x \to infty} [(1 + 1/{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x} })^{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x}}]^{- (x^{\alpha + 1} + x sin x + x^2)/(x^3+sinx+x)} = $
$ = lim_{x \to infty} [(1 + 1/{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x} })^{- frac{x^3+sinx+x}{x^alpha + sin x + x}}]^{- (x^{\alpha - 2} + sin x/x^2 + 1/x^3)/(1+sinx/x^3+1/x^2)} $
Ciò che sta dentro le parentesi quadre è un limite notevole del tipo $lim (1 + 1/f(x))^{f(x)} $ che sappiamo che vale $e $ se $f(x) \to infty $, quindi devi vedere quando ciò accade a seconda del valore di $\alpha \in \RR $
Oddio grazie infinite per la spiegazione!
L'altro che ho postato sotto ho provato a riportarmelo al limite notevole, ma nulla
Per quanto riguarda l'altro limite proposto, si può risolvere facendo uso della seconda formula di prostaferesi
$sin\alpha - sin\beta = 2 sin(frac{\alpha - \beta}{2})cos(frac{\alpha + \beta}{2})$
dove nel caso in esame $\alpha := sqrt{x + 1} $ e $\beta := sqrt{x} $, per cui si ha:
$lim_{x \to +\infty} (sin sqrt{x + 1} - sin sqrt{x}) = lim_{x \to +\infty} 2 sin(frac{sqrt{x + 1} - sqrt{x}}{2})cos(frac{sqrt{x + 1} + sqrt{x}}{2}) = $
$ = 2 \cdot lim_{x \to +\infty} sin(frac{1}{2(sqrt{x + 1} + sqrt{x})})cos(frac{sqrt{x + 1} + sqrt{x}}{2}) = $
$ = 2 \cdot lim_{x \to +\infty} sin(frac{1}{2(sqrt{x + 1} + sqrt{x})}) \cdot lim_{x \to +\infty} cos(frac{sqrt{x + 1} + sqrt{x}}{2}) = $
$ = 2 \cdot 0 \cdot lim_{x \to +\infty} cos(frac{sqrt{x + 1} + sqrt{x}}{2}) = 0 $
in quanto la funzione $ cos(frac{sqrt{x + 1} + sqrt{x}}{2}) $ è limitata.
$sin\alpha - sin\beta = 2 sin(frac{\alpha - \beta}{2})cos(frac{\alpha + \beta}{2})$
dove nel caso in esame $\alpha := sqrt{x + 1} $ e $\beta := sqrt{x} $, per cui si ha:
$lim_{x \to +\infty} (sin sqrt{x + 1} - sin sqrt{x}) = lim_{x \to +\infty} 2 sin(frac{sqrt{x + 1} - sqrt{x}}{2})cos(frac{sqrt{x + 1} + sqrt{x}}{2}) = $
$ = 2 \cdot lim_{x \to +\infty} sin(frac{1}{2(sqrt{x + 1} + sqrt{x})})cos(frac{sqrt{x + 1} + sqrt{x}}{2}) = $
$ = 2 \cdot lim_{x \to +\infty} sin(frac{1}{2(sqrt{x + 1} + sqrt{x})}) \cdot lim_{x \to +\infty} cos(frac{sqrt{x + 1} + sqrt{x}}{2}) = $
$ = 2 \cdot 0 \cdot lim_{x \to +\infty} cos(frac{sqrt{x + 1} + sqrt{x}}{2}) = 0 $
in quanto la funzione $ cos(frac{sqrt{x + 1} + sqrt{x}}{2}) $ è limitata.
Grazie mille l'ho svolto stamattina 
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