Limite di funzione

[lorenzo.pezzi94]

Buongiorno a tutti, ho un limite di funzione per x->0+

di questa funzione:

$(sin (sqrt(x)/e) + log(e-sqrt(x)))^(2/x)$


Purtroppo dopo sviluppi di taylor, arrivo ad avere $e^(2/(sqrt(x)e) - 1/e^2)$

La soluzione è solamente $e^(- 1/e^2)$

Come faccio ad eliminare quella e elevata ad un numero che tende ad infinito? mi sfugge qualcosa sugli sviluppi, magari facendolo correttamente si elimina il termine?

[Luca.Lussardi]

Io lo farei in altro modo, hai che $\frac{2}{x}\log(\sin(\frac{sqrt{x}}{e})+\log(e-\sqrt{x})-1+1)$ e' asintotico a $\frac{2}{x}(\sin(\frac{sqrt{x}}{e})+\log(e-\sqrt{x})-1)$, ora lo fai con l'Hospital.

[otta96]

Facci vedere che calcoli hai fatto.

[lorenzo.pezzi94]

"otta96":Facci vedere che calcoli hai fatto.

Ho semplicemente sviluppato taylor del seno e del logaritmo ma resta l'esponente 2/x che mi viene e^inf

[otta96]

Come fa la base a tenderti ad $e$?

[francicko]

Il limite si può scrivere nella forma $lim_(x->0)(1+log (1-sqrtx/e)+sin(sqrtx/e))^(2/x) $ , se esegui correttamente gli sviluppi di Taylor , sostituendo nello sviluppo, ti dovrebbe rimanere il termine utile $-x/2e^2$ e quindi la forma notevole $(1-x/(2e^2))^(2/x) $ da cui facilmente si calcola il limite.

[lorenzo.pezzi94]

"francicko":Il limite si può scrivere nella forma $lim_(x->0)(1+log (1-sqrtx/e)+sin(sqrtx/e))^(2/x) $ , se esegui correttamente gli sviluppi di Taylor , sostituendo nello sviluppo, ti dovrebbe rimanere il termine utile $-x/2e^2$ e quindi la forma notevole $(1-x/(2e^2))^(2/x) $ da cui facilmente si calcola il limite.

Questa risoluzione è chiara e semplice. Mi chiedo però se esiste un altro modo senza estrarre la e dal log.
Avendo un'elevazione che tende ad infinito, ho provato a portare tutto in esponenziale (cosa che faccio quasi sempre con i limiti di successione). Purtroppo però non riesco ad arrivare alla stessa conclusione. Vorrei sapere se sono io che sbaglio qualche cosa o se proprio non è possibile attuare il metodo dell'esponenziale.

Comunque grazie mille per l'aiuto


EDIT: credo che la risposta sia si. Il problema che ho riscontrato è nello sviluppo di taylor del log che (secondo wolframAlpha) da esattamente lo stesso risultato riportato da te. Evidentemente ho sbagliato io i calcoli