Limite di funzione
Salve a tutti, stavo svolgendo lo studio del carattere della serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n}}{4^{n} n!}$. Ho dei problemi a svolgere $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^{n}}{4^{n} n!}$. Ho provato in svariati modi ma nulla mi ha portato ad un risultato concreto. Qualcuno potrebbe essere cosi gentile da illuminarmi? grazie mille 
Risposte
Ciao zerocool.. è molto semplice..conosci il criterio del rapporto per le serie??
Se si, dovrai avere:
$\lim_{n \to \infty}((n+1)^(n+1))/(4^(n+1)(n+1)!)(4^n*n!)/(n^n)$...
$\lim_{n \to \infty}((n+1)^(n+1))/(4^(n+1)(n+1)!)(4^n*n!)/(n^n)$...
Ciao Anacleto, credo di essermi spiegato male. In prima battuta ho risolto (erroneamente) il limite , successivamente ho applicato il criterio del rapporto ( cosa più logica da fare in presenza del fattoriale) e trovato che la serie converge. Mentre stavo andando a ricopiare in bella copia l'esercizio mi sono accorto di aver commesso un errore nel calcolo del limite. Limite che non riesco a risolvere , qualche suggerimento ? 
Ciao zerocool94,
La serie che hai proposto converge: per convincertene puoi fare uso del criterio del rapporto. Quanto al limite (dove immagino che in realtà intendessi $n \to +\infty$...
) il risultato è $0$, per cui ti dice solamente che è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza della serie (che non significa che converga, visto che anche la serie armonica soddisfa la condizione necessaria per la convergenza).
La serie che hai proposto converge: per convincertene puoi fare uso del criterio del rapporto. Quanto al limite (dove immagino che in realtà intendessi $n \to +\infty$...
) il risultato è $0$, per cui ti dice solamente che è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza della serie (che non significa che converga, visto che anche la serie armonica soddisfa la condizione necessaria per la convergenza).
Riscrivendo il limite hai:
$\lim_{n \to \infty}((n+1)^n(n+1))/(4^n4(n+1)n!)(4^n*n!)/(n^n)$
Semplificando avrai che $l=1/4$..
$\lim_{n \to \infty}((n+1)^n(n+1))/(4^n4(n+1)n!)(4^n*n!)/(n^n)$
Semplificando avrai che $l=1/4$..
Il problema non è la serie (molto semplice da risolvere) , sono certo che la serie converga per via del criterio del rapporto. In questo caso ho seguito uno schema del tipo:
1) Mi accerto che il $\lim_{n \rightarrow \infty}{a_n} = 0$
2) Mi accerto che la serie si a a termini positivi
3) Applico il criterio del rapporto
Dunque 2) e 3) li ho abbondantemente soddisfatti, il problema sta nel limite del numero 1) , non riesco a risolverlo.
P.S. Grazie pilloeffe , ho modificato l'errore!
1) Mi accerto che il $\lim_{n \rightarrow \infty}{a_n} = 0$
2) Mi accerto che la serie si a a termini positivi
3) Applico il criterio del rapporto
Dunque 2) e 3) li ho abbondantemente soddisfatti, il problema sta nel limite del numero 1) , non riesco a risolverlo.
P.S. Grazie pilloeffe , ho modificato l'errore!
Beh se per il criterio del rapporto la serie converge.. ovviamente la 1 sarà soddisfatta (essendo una condizione necessaria)
Ci siamo, infatti il problema sta più in una curiosità, vorrei capire come si risolve proprio il limite della 1) , non riuscire a risolverlo mi ha messo in crisi 
Se prendiamo un singolo fattore del denominatore si avrà sicuramente che $n^n$ è di ordine di infinito maggiore.. ma entrambi insieme,secondo me, fanno tendere il denominatore più velocemente ad infinito
Un'analisi approssimativa che può starci , ma comunque continuo a non capire come svolgere il limite "rigorosamente"
Se sei riuscito con successo ad applicare il criterio del rapporto per seire, puoi dire che il limite 1) è 0 per il criterio del rapporto per successioni.
"otta96":
Se sei riuscito con successo ad applicare il criterio del rapporto per seire, puoi dire che il limite 1) è 0 per il criterio del rapporto per successioni.
Lo dicevo anch'io prima..
comunque il limite va risolto per ordine di infiniti.. non credo che esistano metodi "rigorosi" come dici te, però magari al di fuori di analisi 1 esiste qualcosa..
Ma non stiamo supponendo di aver già dimostrato che $EElim_{n->+\infty}n^n/(n!4^n)=l<1$?
Da come avevo capito io sì, allora $EEn_1\inNN$ t.c. $AAn>n_1$ si ha: $a_(n+1)/a_n<(1+l)/2=>a_(n+1)
Da come avevo capito io sì, allora $EEn_1\inNN$ t.c. $AAn>n_1$ si ha: $a_(n+1)/a_n<(1+l)/2=>a_(n+1)
Non credo di averci capito molto in tutta sincerità...
Se vuoi vedila così, visto che hai già dimostrato che la serie converge, il fatto che il limite 1) faccia 0 segue dal fatto che è una condizione NECESSARIA.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo