LIMITE DI FUNZIONE
Buongiorno ragazzi mi servirebbe aiuto per questo limite:
$\lim_{x \to \infty} (x-1)^2/(sqrt(x^2+1))-x$
Grazie in anticipo.
$\lim_{x \to \infty} (x-1)^2/(sqrt(x^2+1))-x$
Grazie in anticipo.
Risposte
Idee tue?
Ho provato a fare la sottrazione, ma non sono giunto a nessuna conclusione .
Perdona la poca rigorosità
Qualcun altro saprà essere più rigoroso e fare tutti i passaggi
tu devi fare
$lim_(x->infty) (x-1)^2/sqrt(x^2+1) -x$
Guardiamo prima la sola frazione:
al denominatore hai una quantità che all'infinito si comporta come $x$
al numeratore hai una quantità che all'infinito si comporta come $x^2-2x$ cioè come $x(x-2)$
in totale quindi la frazione all'infinito si comporta come $x-2$
facendo ancora la sottrazione della $x$ a destra il limite resta $-2$ che dovrebbe essere il risultato
$lim_(x->infty) (x-1)^2/sqrt(x^2+1) -x = -2$
ciao!
Qualcun altro saprà essere più rigoroso e fare tutti i passaggi
tu devi fare
$lim_(x->infty) (x-1)^2/sqrt(x^2+1) -x$
Guardiamo prima la sola frazione:
al denominatore hai una quantità che all'infinito si comporta come $x$
al numeratore hai una quantità che all'infinito si comporta come $x^2-2x$ cioè come $x(x-2)$
in totale quindi la frazione all'infinito si comporta come $x-2$
facendo ancora la sottrazione della $x$ a destra il limite resta $-2$ che dovrebbe essere il risultato
$lim_(x->infty) (x-1)^2/sqrt(x^2+1) -x = -2$
ciao!
Potresti spiegarmi perchè al numeratore ho una quantità che all'infinito si comporta come $x^2−2x$ , e al denominatore ho una quantità che all'infinito si comporta come $x$?
Al denominatore hai
$sqrt(x^2+1)$
Immagina che $x$ sia infinitamente grande, un numero grandissimo. Che ne so, 100000000000... ok? Se adesso aggiungi $1$ poco conta... diventa 1000000000001 che è praticamente come prima... è come se fosse $sqrt(x^2)$ cioè $x$ (dato che stiamo guardando $+infty$)
Cioè, detta in parole povere, all'infinito $sqrt(x^2+1)$ e $sqrt(x^2)$ sono lo stesso numero ok?
Prova a fare $sqrt 1000001$ e $sqrt 1000000$ alla calcolatrice e te ne accorgi da solo...
Il numeratore invece è
$(x-1)^2=x^2-2x+1$
e anche qui, se consideri un $x$ grandissimo quell' $1$ conterà poco... il tuo numero all'infinito sarà praticamente $x^2-2x$ che raccogliendo diventa $x(x-2)$
la tua frazione allora sarà in parole povere circa $(x(x-2))/x=x-2$ ok? per lo meno avrà, come si dice, questo comportamento all'infinito
ti è chiaro?
Tieni presente che queste considerazioni sono "praticone" e molto poco rigorose, in molti staranno tappandosi il naso per quello che ti sto scrivendo... però funziona spesso e volentieri questo modo di vedere le cose
$sqrt(x^2+1)$
Immagina che $x$ sia infinitamente grande, un numero grandissimo. Che ne so, 100000000000... ok? Se adesso aggiungi $1$ poco conta... diventa 1000000000001 che è praticamente come prima... è come se fosse $sqrt(x^2)$ cioè $x$ (dato che stiamo guardando $+infty$)
Cioè, detta in parole povere, all'infinito $sqrt(x^2+1)$ e $sqrt(x^2)$ sono lo stesso numero ok?
Prova a fare $sqrt 1000001$ e $sqrt 1000000$ alla calcolatrice e te ne accorgi da solo...
Il numeratore invece è
$(x-1)^2=x^2-2x+1$
e anche qui, se consideri un $x$ grandissimo quell' $1$ conterà poco... il tuo numero all'infinito sarà praticamente $x^2-2x$ che raccogliendo diventa $x(x-2)$
la tua frazione allora sarà in parole povere circa $(x(x-2))/x=x-2$ ok? per lo meno avrà, come si dice, questo comportamento all'infinito
ti è chiaro?
Tieni presente che queste considerazioni sono "praticone" e molto poco rigorose, in molti staranno tappandosi il naso per quello che ti sto scrivendo... però funziona spesso e volentieri questo modo di vedere le cose
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