Limite di funzione

[PaoloC94]

Salve a tutti stavo svolgendo il seguente limite :
$lim_(x->0^+) (Cos3x)^(1/(xSIN5x))$

e ho provato a svolgerlo in due modi: con il primo metodo ho trasformato l' espressione in forma esponenziale diventando così $lim_(x->0^+) e^((Cos3x)/(xSIN5x))$ , successivamente ho applicato de l' hopital a $((Cos3x)/(xSIN5x))$ ottenendo $-9/10$ e quindi il risultato $e^(-9/10)$ che è il risultato giusto del libro.

Dopo per mio sfizio personale ho voluto applicare gli sviluppi di taylor e quindi sempre partendo da $lim_(x->0^+) e^((Cos3x)/(xSIN5x))$ ho applicato lo sviluppo di taylor di $e^x$ ottenendo:

$1+ (Cos3x)/(xSIN5x)$ dopo di che ho applicato taylor anche al coseno e al seno ottenendo:

$lim_(x->0^+) (X^2 - 1)/(10x^2)$ che risulta meno infinito. Qualcuno saprebbe dirmi dove ho sbagliato?

[21zuclo]

Consiglio riscrivi meglio il primo limite, faccio un po' fatica a capire

riguardo al secondo limite che hai scritto

"PaoloC94":
$lim_(x->0^+) (X^2 - 1)/(10x^2)$ che risulta meno infinito. Qualcuno saprebbe dirmi dove ho sbagliato?

sai che $x^2-1=(x+1)(x-1)$

quindi $\lim_(x\to 0^+) ((x+1)(x-1))/(10 x^2)=\lim_(x\to 0^+) (-1)/(10 x^2)=-\infty$

[PaoloC94]

"21zuclo":Consiglio riscrivi meglio il primo limite, faccio un po' fatica a capire

riguardo al secondo limite che hai scritto

[quote="PaoloC94"]
$lim_(x->0^+) (X^2 - 1)/(10x^2)$ che risulta meno infinito. Qualcuno saprebbe dirmi dove ho sbagliato?

sai che $x^2-1=(x+1)(x-1)$

quindi $\lim_(x\to 0^+) ((x+1)(x-1))/(10 x^2)=\lim_(x\to 0^+) (-1)/(10 x^2)=-\infty$[/quote]

Ok sono riuscito a risolverlo applicando taylor prima al coseno e poi al logaritmo senza applicarlo all' esponenziale risultando così $e^(-9/10)$. Ora mi sorge spontanea una domanda però, perchè non posso applicare direttamente taylor all' esponenziale? Grazie ancora per l' aiuto