Limite di fattoriale
Mi sono arenato su di un limite piuttosto semplice
$lim_(n->oo) ((2n)!)/n^(2n)$
mi blocco su tale limite, ho percorso due strade ma:
1) sia con stirling $lim_(n->oo) (sqrt(4pin)2^(2n))/e^(2n)$
2) che con $lim_(n->oo) ((2n)!)/n^(2n) = lim_(n->oo) ((2n)!*2^(2n))/(2^(2n) n^(2n)) = lim_(n->oo) ((2n)!*2^(2n))/(2n)^(2n)$ ma peggioro le cose finendo in una indeterminata, non saprei cosa convenga fare. La mia idea era portarmi a $(2n)!<(2n)^(2n)$
Grazie per il vostro aiuto indispensabile
$lim_(n->oo) ((2n)!)/n^(2n)$
mi blocco su tale limite, ho percorso due strade ma:
1) sia con stirling $lim_(n->oo) (sqrt(4pin)2^(2n))/e^(2n)$
2) che con $lim_(n->oo) ((2n)!)/n^(2n) = lim_(n->oo) ((2n)!*2^(2n))/(2^(2n) n^(2n)) = lim_(n->oo) ((2n)!*2^(2n))/(2n)^(2n)$ ma peggioro le cose finendo in una indeterminata, non saprei cosa convenga fare. La mia idea era portarmi a $(2n)!<(2n)^(2n)$
Grazie per il vostro aiuto indispensabile
Risposte
"harperf":
Mi sono arenato su di un limite piuttosto semplice
$lim_(n->oo) ((2n)!)/n^(2n)$
mi blocco su tale limite, ho percorso due strade ma:
1) sia con stirling $lim_(n->oo) (sqrt(4pin)2^(2n))/e^(2n)$
[...]
Perche' ti blocchi con Stirling? E' chiaro che questo limite faccia \(0\).
In realtà con Stirling ottieni $(2/e)^(2n)$ che si tratta di un esponenziale con base < 1 dal comportamento (dunque) definito per l'esponente che tende a $+\infty$.
Quel $\sqrt(4 \pi n)$ che resta fuori è di un ordine di infinito differente da quello dell'esponenziale.
EDIT. Saluto Delirium che mi ha anticipato. Più o meno abbiamo dato la stessa risposta.
Quel $\sqrt(4 \pi n)$ che resta fuori è di un ordine di infinito differente da quello dell'esponenziale.
EDIT. Saluto Delirium che mi ha anticipato. Più o meno abbiamo dato la stessa risposta.
Rispondo ad entrambi perché mi avete detto la stessa cosa credo 
In effetti è il ragionamento che ho fatto, ma non dovrei avere un $[0*oo]$?
In effetti è il ragionamento che ho fatto, ma non dovrei avere un $[0*oo]$?
Curiosità: dovrebbe funzionare anche così o no?
$lim_(n->+infty) (1*2*…*n*…*(2n-1)*2n)/(n*n*…*n*…*n*n)=lim_(n->+infty) (1/n*2/n*…*n/n*…*(2n-1)/n*(2n)/n)=$
$=lim_(n->+infty) (0*0*…*1*…*(2-1/n)*2=0$
Cordialmente, Alex
$lim_(n->+infty) (1*2*…*n*…*(2n-1)*2n)/(n*n*…*n*…*n*n)=lim_(n->+infty) (1/n*2/n*…*n/n*…*(2n-1)/n*(2n)/n)=$
$=lim_(n->+infty) (0*0*…*1*…*(2-1/n)*2=0$
Cordialmente, Alex
"harperf":
Rispondo ad entrambi perché mi avete detto la stessa cosa credo
In effetti è il ragionamento che ho fatto, ma non dovrei avere un $[0*oo]$?
Si' ma se \(a \in (0,1)\), \[ \lim_{n \to \infty} n^\alpha a^n=0 \] per ogni \(\alpha > 0 \). E' un fatto elementare.
"harperf":
In effetti è il ragionamento che ho fatto, ma non dovrei avere un $ [0*oo] $?
Se sai qualcosa delle gerarchie degli infiniti (ho immaginato di sì nella risposta precedente)
"Zero87":
Quel $\sqrt(4 \pi n)$ che resta fuori è di un ordine di infinito differente da quello dell'esponenziale.
E' assurdo ma anche con tutti gli esercizi fatti non lo sapevo. Grazie
In realtà in questo caso sarebbe più propriamente:
$lim_(n->oo) n^ab^n=0, a\in(0,1), b\in(0,1)$ giusto? Non mi sembra abbia la stessa a.
Mah in teoria sì, o meglio so le gerarchie tra infinitima non conosco nulla riguardo "confronti" tra infinitesime e infinite (non ho mai letto nulla a riguardo).. ma certe volte non so cose ovvie non capisco dove sbagli nello studio.
Avresti qualche lettura a proposito?
In realtà in questo caso sarebbe più propriamente:
$lim_(n->oo) n^ab^n=0, a\in(0,1), b\in(0,1)$ giusto? Non mi sembra abbia la stessa a.
Se sai qualcosa delle gerarchie degli infiniti (ho immaginato di sì nella risposta precedente)
Mah in teoria sì, o meglio so le gerarchie tra infinitima non conosco nulla riguardo "confronti" tra infinitesime e infinite (non ho mai letto nulla a riguardo).. ma certe volte non so cose ovvie non capisco dove sbagli nello studio.
Avresti qualche lettura a proposito?
"harperf":
E' assurdo ma anche con tutti gli esercizi fatti non lo sapevo. Grazie
In realtà in questo caso sarebbe più propriamente:
$lim_(n->oo) n^ab^n=0, a\in(0,1), b\in(0,1)$ giusto? Non mi sembra abbia la stessa a.
[...]
Ho scritto \(a\) e \(\alpha\). Sono due lettere diverse.
Perfetto sono anche orbo
Una buona idea, quando si ha a che fare con funzioni che odorano fortemente di ricorsività come questa o altre che potrebbero seguirla, è spesso ricordare come, se $"{a"_"n" "}"_("n" in NN)$ è una successione t.c. $EE"lim"_("n" to oo)frac{ "a"_"n+1"}{"a"_"n" } "=l" in(0,1)$, allora è essa stessa infinitesima.
Saluti dal web.
Saluti dal web.
Verissimo!
Grazie anche a te
Grazie anche a te
"harperf":Se sai qualcosa delle gerarchie degli infiniti (ho immaginato di sì nella risposta precedente)
[...]
Avresti qualche lettura a proposito?
In realtà credo che ci sia sul libro di testo... nel senso che mi stupirei del contrario.
@theras
Quanto tempo che non ti vedo!
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