Limite di f. di piu' variabili
Poi la smetto di impestare il forum per oggi ...
Discutere al variare del parametro \(\alpha \in \mathbb{R}\) il seguente limite \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\exp{(x^3 - y^6 + x^6y^2)} + |\alpha|\sin{(y^6 - x^3 - \frac{x^6}{2})} - 1}{x^6 + \alpha y^6}\]
Osservazione: funzione seno e funzione esponenziale sono entrambe monotone in intorni dell'origine, i.e. se maggioro l'argomento, maggioro il termine \(\sin{(\dots)} + \exp{(\dots)}\). Se passo in polari e maggioro entrambi gli argomenti con espressioni che dipendono solo da \(\rho\) allora uso gli sviluppi di Taylor in \(U(0)\), etc ...
Questa e' la strada che sto cercando di seguire (da un paio d'ore, direi?...)
La questione e' che non riesco a maggiorare con `roba` infinitesima -diverge tutto.
Qualche hint?
Tutte le maggiorazioni che ho provato non mi portano a chiudere un bel niente.
Piu' tardi se ne trovo qualcuna che mi sembra possa funzionare edito. Intanto ringrazio per l'aiuto.
Discutere al variare del parametro \(\alpha \in \mathbb{R}\) il seguente limite \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\exp{(x^3 - y^6 + x^6y^2)} + |\alpha|\sin{(y^6 - x^3 - \frac{x^6}{2})} - 1}{x^6 + \alpha y^6}\]
Osservazione: funzione seno e funzione esponenziale sono entrambe monotone in intorni dell'origine, i.e. se maggioro l'argomento, maggioro il termine \(\sin{(\dots)} + \exp{(\dots)}\). Se passo in polari e maggioro entrambi gli argomenti con espressioni che dipendono solo da \(\rho\) allora uso gli sviluppi di Taylor in \(U(0)\), etc ...
Questa e' la strada che sto cercando di seguire (da un paio d'ore, direi?...)
La questione e' che non riesco a maggiorare con `roba` infinitesima -diverge tutto.
Qualche hint?
Tutte le maggiorazioni che ho provato non mi portano a chiudere un bel niente.
Piu' tardi se ne trovo qualcuna che mi sembra possa funzionare edito. Intanto ringrazio per l'aiuto.
Risposte
Domanda: ma se usi subito Taylor tenendo le coordinate cartesiane ?
Ci si ferma al primo termine per non invecchiare facendo l'esercizio e si vede che aria tira...
credo che si possa fare siccome sia x che y tendono a zero, quindi i termini ulteriori sono tutti infinitesimi, degli o-piccolo.
Avresti $(x^3-y^6-x^6y^2+|\alpha|(y^6-x^3-(x^6)/2))/(x^6+\alpha y^5)$
Se $\alpha=1$ si vedono cose piacevoli, però bisognerebbe spenderci altro tempo, e forse, andare fino al secondo ordine di Taylor.
Ci si ferma al primo termine per non invecchiare facendo l'esercizio e si vede che aria tira...
credo che si possa fare siccome sia x che y tendono a zero, quindi i termini ulteriori sono tutti infinitesimi, degli o-piccolo.
Avresti $(x^3-y^6-x^6y^2+|\alpha|(y^6-x^3-(x^6)/2))/(x^6+\alpha y^5)$
Se $\alpha=1$ si vedono cose piacevoli, però bisognerebbe spenderci altro tempo, e forse, andare fino al secondo ordine di Taylor.
"Quinzio":
Domanda: ma se usi subito Taylor tenendo le coordinate cartesiane ?
Si, posso sviluppare il numeratore in intorni dello zero. Ma al primo ordine non tiro fuori nulla, idem al secondo. Sempre partendo dal fatto che, per piu' variabili, si ha \[f(x,y) = f(0,0) + f_x (0,0) (x) + f_y (0,0) (y) + \frac{1}{2} (f_{xx} (0,0) + f_{xy} (0,0) + f_{yx} (0,0) + f_{yy}(0,0)) + o(x^2 + y^2)\]
O continuo a sviluppare -e la cosa diventa confusionaria con le derivate terze, quarte, ...- , o tento un'altra strada.
Ora pensavo di provare a riguardare meglio l'uso delle coordinate polari, e poi ci ripenso. Intanto se ci sono suggerimenti, continuo a leggere eh!
Uppo, scusate
Dunque... Riesumo il post a distanza di qualche giorno. Spero che qualcuno abbia voglia di leggere.
Il mio professore se n'e' uscito fuori con una questione che puo' fare al caso mio. Scrivo qualcosa, poi cerco di chiudere l'esercizio: si abbia \[\lim_{(x,y) \to (1,2)} \frac{\log{(3 - 2x -y + xy)}}{(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5)^{1/2}}\] Idea: passo in polari, con polo nel punto a cui si fa tendere la funzione, cosi da avere: \[\lim_{\rho \to 0} \frac{\log(1 + \rho^2 \sin\theta\cos\theta)}{\rho}\] Mi piacerebbe usare gli sviluppi di McLaurin sul numeratore. Ma \[\log(1 + \rho^2 \sin\theta\cos\theta) = \rho^2 \sin\theta\cos\theta + o(\rho^2 \sin\theta\cos\theta)\] non e' vera quando \(\sin\theta\cos\theta = 0\) Il mio professore mi ha fatto vedere la cosa seguente: penso ad una funzione ignota/`qualsiasi` che tenda effettivamente a zero per \(\rho \in U(0)\). Quindi mi vado a scrivere: \[\log(1 + \rho^2 \sin\theta\cos\theta) = \rho^2 \sin\theta\cos\theta + \epsilon(\rho,\theta)\dot(\rho^2 \sin\theta\cos\theta) = \rho^2 \sin\theta\cos\theta + o(\rho^2)\] salvando la filosofia dell'o-piccolo. (
) Dunque, per \(\rho\) verso lo zero \[\frac{\log(1 + \rho^2 \sin\theta\cos\theta)}{\rho} = \rho \sin\theta\cos\theta \to 0\] Se questo metodo funziona, allora anche l'esercizio del topic posso chiuderlo in modo simile -identico.
Il mio professore se n'e' uscito fuori con una questione che puo' fare al caso mio. Scrivo qualcosa, poi cerco di chiudere l'esercizio: si abbia \[\lim_{(x,y) \to (1,2)} \frac{\log{(3 - 2x -y + xy)}}{(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5)^{1/2}}\] Idea: passo in polari, con polo nel punto a cui si fa tendere la funzione, cosi da avere: \[\lim_{\rho \to 0} \frac{\log(1 + \rho^2 \sin\theta\cos\theta)}{\rho}\] Mi piacerebbe usare gli sviluppi di McLaurin sul numeratore. Ma \[\log(1 + \rho^2 \sin\theta\cos\theta) = \rho^2 \sin\theta\cos\theta + o(\rho^2 \sin\theta\cos\theta)\] non e' vera quando \(\sin\theta\cos\theta = 0\) Il mio professore mi ha fatto vedere la cosa seguente: penso ad una funzione ignota/`qualsiasi` che tenda effettivamente a zero per \(\rho \in U(0)\). Quindi mi vado a scrivere: \[\log(1 + \rho^2 \sin\theta\cos\theta) = \rho^2 \sin\theta\cos\theta + \epsilon(\rho,\theta)\dot(\rho^2 \sin\theta\cos\theta) = \rho^2 \sin\theta\cos\theta + o(\rho^2)\] salvando la filosofia dell'o-piccolo. (
) Dunque, per \(\rho\) verso lo zero \[\frac{\log(1 + \rho^2 \sin\theta\cos\theta)}{\rho} = \rho \sin\theta\cos\theta \to 0\] Se questo metodo funziona, allora anche l'esercizio del topic posso chiuderlo in modo simile -identico.
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