Limite di esponenziale fratta
Salve,
Sono nuovo del forum e mi scuso se rompo qualche regola...
Comunque ho un piccolo esercizio dal libro dei complementi di esercizi di Analisi del Giusti su cui mi sono proprio inchiodato:
\(\displaystyle \lim_{x\Rightarrow0}\frac{A^{x}-B^{x}}{x} \)
Sono al primo anno di ingegneria, ad analisi, dovrebbe essere un esercizio semplice. Ne ho fatti mille altri ma qua c'è qualcosa che mi sfugge. Per "A" e "B" credo che intenda due funzioni generiche.
La soluzione che il libro dà è \(\displaystyle \doteq\frac{\ln A}{\ln B} \)
Grazie mille in anticipo!
Sono nuovo del forum e mi scuso se rompo qualche regola...
Comunque ho un piccolo esercizio dal libro dei complementi di esercizi di Analisi del Giusti su cui mi sono proprio inchiodato:
\(\displaystyle \lim_{x\Rightarrow0}\frac{A^{x}-B^{x}}{x} \)
Sono al primo anno di ingegneria, ad analisi, dovrebbe essere un esercizio semplice. Ne ho fatti mille altri ma qua c'è qualcosa che mi sfugge. Per "A" e "B" credo che intenda due funzioni generiche.
La soluzione che il libro dà è \(\displaystyle \doteq\frac{\ln A}{\ln B} \)
Grazie mille in anticipo!
Risposte
"Jgnth":
Salve,
Sono nuovo del forum e mi scuso se rompo qualche regola...
Comunque ho un piccolo esercizio dal libro dei complementi di esercizi di Analisi del Giusti su cui mi sono proprio inchiodato:
\(\displaystyle \lim_{x\Rightarrow0}\frac{A^{x}-B^{x}}{x} \)
Sono al primo anno di ingegneria, ad analisi, dovrebbe essere un esercizio semplice. Ne ho fatti mille altri ma qua c'è qualcosa che mi sfugge. Per "A" e "B" credo che intenda due funzioni generiche.
La soluzione che il libro dà è \(\displaystyle \doteq\frac{\ln A}{\ln B} \)
Grazie mille in anticipo!
il libro si sbaglia. La soluzione è $ln(A/B)$
$lim_(x->0)(A^x-B^x)/x rarr H rarr lim_(x->0)(lnA\cdotA^x-lnB\cdotB^x)=lnA-lnB=ln(A/B)$
Così a occhio mi pare che basti De L'Hopital ...
$(A^x*ln(A)-B^x*ln(B))/1=1*ln(A)-1*ln(B)=ln(A/B)$
EDIT: Tommik velocissimo ...
$(A^x*ln(A)-B^x*ln(B))/1=1*ln(A)-1*ln(B)=ln(A/B)$
EDIT: Tommik velocissimo ...
Dovrebbe essere cosi con $a,b, $ $inR $
per $(x->0)$ ai ha $a^x=e^(xloga)~(1+xloga) $, analogamente
si ha $b^x=e^(xlogb)~(1+xlogb) $, sostituendo avremo:
$lim_(x->0)(1+xloga-1-xlogb)/x $ $=lim_(x->0)(xloga-xlogb)/x $
semplificando avremo ancora $=lim_(x->0)lim_(x->0)(loga-logb)=log (a/b) $, fine; nota bene ho usato solo l'asintotico, ovviamente si può anche applicare Hopital☺
Spero che sia chiaro, saluti!
per $(x->0)$ ai ha $a^x=e^(xloga)~(1+xloga) $, analogamente
si ha $b^x=e^(xlogb)~(1+xlogb) $, sostituendo avremo:
$lim_(x->0)(1+xloga-1-xlogb)/x $ $=lim_(x->0)(xloga-xlogb)/x $
semplificando avremo ancora $=lim_(x->0)lim_(x->0)(loga-logb)=log (a/b) $, fine; nota bene ho usato solo l'asintotico, ovviamente si può anche applicare Hopital☺
Spero che sia chiaro, saluti!
Cavolo ragazzi!
Velocissimi e puntuali!
Si, avevo sbagliato a scrivere la soluzione, ci metto ancora talmente tanto a scrivere in latex che poi mi scordo di ricontrollare!
Grazie!
Velocissimi e puntuali!
Si, avevo sbagliato a scrivere la soluzione, ci metto ancora talmente tanto a scrivere in latex che poi mi scordo di ricontrollare!
Grazie!
Come ulteriore alternativa, si può fare riferimento al limite notevole: $lim_(x to 0)(e^x-1)/x=1$ per avere:
$lim_(x to 0)(A^x-B^x)/x=lim_(x to 0)(A^x-1+1-B^x)/x=lim_(x to 0)((A^x-1)/x-(B^x-1)/x)=$
=$lim_(x to 0)((e^(xlnA)-1)/(xlnA)*lnA-e^(xlnB-1)/(xlnB)*lnB)=1*lnA-1*lnB=ln(A/B)$.
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