Limite destro e sinistro in due variabili (?)
$f(x,y)=1/(log(x+y))$
Il dominio è $x+y>0$ e $x+y≠1$
devo studiare il limite della funzione (se esiste) per i punti di accumulazione $in RR^2\D$, quindi per gli $(x,y)$ tali che $y=1-x$
è giusto fare $lim_((x,y)->(x,1-x))(1/log(x,y))$ ?
sostituisco e mi viene che tende a $infty$ però ho dei problemi sul segno... mi viene il subbi se nei limiti a due variabili si parla di limite destro e sinistro...
Il dominio è $x+y>0$ e $x+y≠1$
devo studiare il limite della funzione (se esiste) per i punti di accumulazione $in RR^2\D$, quindi per gli $(x,y)$ tali che $y=1-x$
è giusto fare $lim_((x,y)->(x,1-x))(1/log(x,y))$ ?
sostituisco e mi viene che tende a $infty$ però ho dei problemi sul segno... mi viene il subbi se nei limiti a due variabili si parla di limite destro e sinistro...
Risposte
Io la vedo così:
1. Fare il lim sx vuol dire muoversi verso il punto "incriminato", ovvero il classico $x_0$, provenendo da sinistra.
Allora prendo $t \mapsto x(t)$ e considero la funzione composta $t \mapsto f(x(t))$.
Ovviamente $x(t)$ deve tendere a $x_0$ per $t$ che va dove è il caso ($t -> 0$, oppure $t -> oo$ sono i casi di base).
Per esempio, $t \mapsto x(t)$ potrebbe essere la parametrizzazione di una etta passante per $x_0$ (o di un segmento...). O una parabole che passa per $x_0$. Oppure una spirale che si avvolge attorno a $x_0$.
2. Fare il lim sx vuol dire muoversi verso il punto "incriminato", ma stando solo su un sottoinsieme del dominio di def di $f$. Per la precisione, su $\dom (f) \cap ]-oo, x_0[$.
Allora prendo la restrizione di $f$ a un sottoinsieme di $\dom(f)$: $\dom (f) \cap A$. Dove $A$ è una semiretta di origine $x_0$, oppure è il supporto di una curva passante per $x_0$, o è l'insieme dei punti di coordinate azionali, etc.
NB: come nel caso del lim da sx, occorre verificare che la condizione di punto di accumulazione continui a essere soddisfatta (se si è interessati all'unicità del limite si può scavare in questo thread dal nome "ingannevole": https://www.matematicamente.it/forum/com ... 22376.html)
A me sembrano entrambe estensioni legittime da dim $1$ a dim $n$ della idea di lim da sx.
Note finali:
- ho usato la notazione compatta "x" per indicare un punto di $RR^n$
- considerazioni simili si possono fare per i limiti all'infinito
1. Fare il lim sx vuol dire muoversi verso il punto "incriminato", ovvero il classico $x_0$, provenendo da sinistra.
Allora prendo $t \mapsto x(t)$ e considero la funzione composta $t \mapsto f(x(t))$.
Ovviamente $x(t)$ deve tendere a $x_0$ per $t$ che va dove è il caso ($t -> 0$, oppure $t -> oo$ sono i casi di base).
Per esempio, $t \mapsto x(t)$ potrebbe essere la parametrizzazione di una etta passante per $x_0$ (o di un segmento...). O una parabole che passa per $x_0$. Oppure una spirale che si avvolge attorno a $x_0$.
2. Fare il lim sx vuol dire muoversi verso il punto "incriminato", ma stando solo su un sottoinsieme del dominio di def di $f$. Per la precisione, su $\dom (f) \cap ]-oo, x_0[$.
Allora prendo la restrizione di $f$ a un sottoinsieme di $\dom(f)$: $\dom (f) \cap A$. Dove $A$ è una semiretta di origine $x_0$, oppure è il supporto di una curva passante per $x_0$, o è l'insieme dei punti di coordinate azionali, etc.
NB: come nel caso del lim da sx, occorre verificare che la condizione di punto di accumulazione continui a essere soddisfatta (se si è interessati all'unicità del limite si può scavare in questo thread dal nome "ingannevole": https://www.matematicamente.it/forum/com ... 22376.html)
A me sembrano entrambe estensioni legittime da dim $1$ a dim $n$ della idea di lim da sx.
Note finali:
- ho usato la notazione compatta "x" per indicare un punto di $RR^n$
- considerazioni simili si possono fare per i limiti all'infinito
"nato_pigro":
$f(x,y)=1/(log(x+y))$
Il dominio è $x+y>0$ e $x+y≠1$
devo studiare il limite della funzione (se esiste) per i punti di accumulazione $in RR^2\D$, quindi per gli $(x,y)$ tali che $y=1-x$
è giusto fare $lim_((x,y)->(x_0,1-x_0))(1/log(x,y))$ ?
sostituisco e mi viene che tende a $infty$ però ho dei problemi sul segno... mi viene il subbi se nei limiti a due variabili si parla di limite destro e sinistro...
(modificato $lim_((x,y)->(x,1-x))(1/log(x,y))$ con $lim_((x,y)->(x_0,1-x_0))(1/log(x,y))$)
Io ho questo risultato:
che mi sembra di aver capito è quello che si discuteva nell'altro 3d ma ristretto ai reali.
A quanto ho capito parlare di limite destro e sinistro non è altro che un caso particolare di questo lemma, che però prende il nome di "destro" e "sinistro" perchè, quando siamo in $RR$, con il limite che tende ad un $x_0$ finito, queste sono le uniche due restrizioni sensate che mantengano (eventualmente) $x_0$ punto di accumulazione per il dominio.
Però in $RR^n$ (con $n>1$) la restrizione della funzione a $(-infty, x_0)$ o a $(x_0, +infty)$ non è più speciale di altre restizioni, giusto?
Ora, nel mio esercizio:
$lim_((x,y)->(x_0,1-x_0))(1/log(x,y))$ se restringo la funzione a $I nn {(x,y)inRR^2|xx_0}$ dove $I={(x,y)inRR^2|y=-x_0+1}$ otengo che i limiti sono rispettivamente $-infty$ e $+infty$, quindi il limite non esiste. Ma lo stesso risultato lo ottenevo se facevo la restrizione a $I nn {(x,y)inRR^2|yx_0}$, giusto?
Quindi parlare di destra e sinistra in $RR^2$ non ha la stessa importanza che ha in $RR$.
$DsubeRR^n$, $f: D->RR^m$, $x_0inRR^n uu {-infty, +infty} uu {infty}$, $l in RR^m uu {-infty, +infty}$ (per dire che $x_0$ può essere più o meno infinito e infinito senza segno)
Se $x_0$ è punto di acc. per $D' uu D$ e $lim_(x->x_0)(f(x))=l$ allora $lim_(x->x_0)(f(x)_(|D'))=l$
che mi sembra di aver capito è quello che si discuteva nell'altro 3d ma ristretto ai reali.
A quanto ho capito parlare di limite destro e sinistro non è altro che un caso particolare di questo lemma, che però prende il nome di "destro" e "sinistro" perchè, quando siamo in $RR$, con il limite che tende ad un $x_0$ finito, queste sono le uniche due restrizioni sensate che mantengano (eventualmente) $x_0$ punto di accumulazione per il dominio.
Però in $RR^n$ (con $n>1$) la restrizione della funzione a $(-infty, x_0)$ o a $(x_0, +infty)$ non è più speciale di altre restizioni, giusto?
Ora, nel mio esercizio:
$lim_((x,y)->(x_0,1-x_0))(1/log(x,y))$ se restringo la funzione a $I nn {(x,y)inRR^2|x
Quindi parlare di destra e sinistra in $RR^2$ non ha la stessa importanza che ha in $RR$.
Non entro nel merito di questo limite. Ma non ha in generale senso definire un limite destro e sinistro nel piano. A meno di non restingere la funzione ad una retta, ma a quel punto sostituisci l'equazione della retta e hai una funzione ad una variabile reale.
Altro discorso é se constati che il limite non esiste, in quanto trovi delle restrizioni in cui il calcolo del limite della funzione é diverso, come hai constatato giustamente tu(non ho controllato i calcoli, parlo in linea di principio).
Altro discorso é se constati che il limite non esiste, in quanto trovi delle restrizioni in cui il calcolo del limite della funzione é diverso, come hai constatato giustamente tu(non ho controllato i calcoli, parlo in linea di principio).
"nato_pigro":
Quindi parlare di destra e sinistra in $RR^2$ non ha la stessa importanza che ha in $RR$.
No, non ha la stessa importanza. In $RR^n$, oltre a "sx" e "dx" c'è "sopra", "sotto", NE, NW, NNE, etc...
Aggiungo una cosa. Suppongo di avere una funzione definita su tutto $RR$ (o $RR^n$, dove serve), escluso al più $x_0$.(*)
Fare lim sx e dx in $RR$ ha un pregio ulteriore rispetto a quello che avviene in $RR^n$.
L'unione delle due semirette $]-oo,x_0[$ e $]x_0,+oo[$ ti da tutto $RR \backslash {x_0}$.
Il che vuol dire che $RR \backslash {x_0}$ è decomponibile in un numero finito di sottoinsiemi che lo "esauriscono". Ma allora, dato $\varepsilon$ avrai un $\delta_{sx}$ e un $\delta_{dx}$. Di questi prendi il min e lo chiami $\delta$.
Ecco spiegato perché funge il fatto che per trovare il limite in $x_0$ è CNS che esistano i limiti sx e dx e siano uguali: decomposizione in un numero finito di sottoinsiemi.
Ed ecco spiegato perché fare il lim sulle semirette uscenti da $x_0$ non ti da più una CNS: la sufficienza viene a cadere perché ti devi fare un "min" (un inf...) di una famiglia infinita di "delta" positivi. Ma l'inf di una famiglia di numeri positivi può essere zero, se la famiglia è infinita.
(*) Per evitare di complicare le cose con i problemi dati dai punti di accumulazione...
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