Limite destro e sinistro
Salve a tutti,
sono nuovo ed vi propongo subito una domanda che sarà semplice per voi, ma che riguarda un argomento che non sono ancora riuscito a comprendere al 100% e mi crea sempre problemi.
Facendo riferimento a questo link:
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Esempi_funzioni/irr3.htm
qualcuno riesce a spiegarmi una volta per tutte, per i 3 limiti della derivata prima, quale ragionamento semplice sta alla base dei risultati?
Grazie!
sono nuovo ed vi propongo subito una domanda che sarà semplice per voi, ma che riguarda un argomento che non sono ancora riuscito a comprendere al 100% e mi crea sempre problemi.
Facendo riferimento a questo link:
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Esempi_funzioni/irr3.htm
qualcuno riesce a spiegarmi una volta per tutte, per i 3 limiti della derivata prima, quale ragionamento semplice sta alla base dei risultati?
Grazie!
Risposte
1° limite:
$\lim_{x \to -2_+}\frac{3x^2-4}{2 sqrt(x^3-4x)}$
Io ti consiglio un modo triviale per farlo, ma che può aiutarti, almeno fino a che non avrai già chiare le idee di tuo.
Prima fai normalmente il limite per x che tende a -2 e ottieni $\frac{8}{0}$.
Il numeratore non dà problemi, mentre il problema c'è al denominatore perchè c'è uno zero.
Il risultato sarà $+\infty$ o $-\infty$.
Se a denominatore ci fosse $0_+$ allora avrei $\frac{8}{0_+}$ e 8 ha segno positivo e $0_+$ anche e + per + mi dà + e quindi il risultato sarebbe $+\infty$.
Se invece avessi a denominatore $0_-$ allora 8 ha segno +, $0_-$ ha segno - e + per - mi dà - e quindi il risultato sarebbe $-\infty$.
Devo quindi determinare che tipo di 0 c'è a denominatore.
Ecco che allora subentra il modo triviale di farlo.
Dato che $-2_+$ è poco più di -2, considera che $-2_+$ è $-1.9$. Ora sostituisci questo valore al posto del denominatore e vedi se ti esce un numero positivo o negativo. Se ti esce un numero positivo (qualunque numero ti sia venuto) metti $0_+$ al denominatore. Altrimenti metti $0_-$.
Nel nostro caso:
$2 sqrt(x^3-4x)$ valutata in -1.9 diventa $2 sqrt((-1.9)^3-4(-1.9))$=$2 sqrt(-6.8+7.6)$=$2 sqrt(0.8)>0$. Allora devi mettere a denominatore $0_+$ e quindi il risultato è $+\infty$
2° limite
$\lim_{x \to 0_-}\frac{3x^2-4}{2 sqrt(x^3-4x)}$
Come prima faccio il limite per x che tende a 0 e ottengo $\frac{-4}{0}$
Ora $0_-$ è poco meno di 0 e quindi considero $-0.1$.
Il denominatore quindi diventa:
$2 sqrt((-0.1)^3-4(-0.1))$=$2 sqrt(-0.001+0.4)>0$.
Allora anche qui a denominatore ho $0_+$ e quindi il risultato è $\frac{-4}{0_+}=-\infty$
3° limite
Prova a farlo tu per vedere se hai capito
(Un'ultima cosa.
In realtà qua è ovvio che, se l'esercizio ha senso, i denominatori verranno $0_+$ perchè ho la radice quadrata che è sempre maggiore o uguale a 0.
Io però ti ho fatto vedere il modo di agire in generale)
Resto disponibile per chiarimenti. Ciao
$\lim_{x \to -2_+}\frac{3x^2-4}{2 sqrt(x^3-4x)}$
Io ti consiglio un modo triviale per farlo, ma che può aiutarti, almeno fino a che non avrai già chiare le idee di tuo.
Prima fai normalmente il limite per x che tende a -2 e ottieni $\frac{8}{0}$.
Il numeratore non dà problemi, mentre il problema c'è al denominatore perchè c'è uno zero.
Il risultato sarà $+\infty$ o $-\infty$.
Se a denominatore ci fosse $0_+$ allora avrei $\frac{8}{0_+}$ e 8 ha segno positivo e $0_+$ anche e + per + mi dà + e quindi il risultato sarebbe $+\infty$.
Se invece avessi a denominatore $0_-$ allora 8 ha segno +, $0_-$ ha segno - e + per - mi dà - e quindi il risultato sarebbe $-\infty$.
Devo quindi determinare che tipo di 0 c'è a denominatore.
Ecco che allora subentra il modo triviale di farlo.
Dato che $-2_+$ è poco più di -2, considera che $-2_+$ è $-1.9$. Ora sostituisci questo valore al posto del denominatore e vedi se ti esce un numero positivo o negativo. Se ti esce un numero positivo (qualunque numero ti sia venuto) metti $0_+$ al denominatore. Altrimenti metti $0_-$.
Nel nostro caso:
$2 sqrt(x^3-4x)$ valutata in -1.9 diventa $2 sqrt((-1.9)^3-4(-1.9))$=$2 sqrt(-6.8+7.6)$=$2 sqrt(0.8)>0$. Allora devi mettere a denominatore $0_+$ e quindi il risultato è $+\infty$
2° limite
$\lim_{x \to 0_-}\frac{3x^2-4}{2 sqrt(x^3-4x)}$
Come prima faccio il limite per x che tende a 0 e ottengo $\frac{-4}{0}$
Ora $0_-$ è poco meno di 0 e quindi considero $-0.1$.
Il denominatore quindi diventa:
$2 sqrt((-0.1)^3-4(-0.1))$=$2 sqrt(-0.001+0.4)>0$.
Allora anche qui a denominatore ho $0_+$ e quindi il risultato è $\frac{-4}{0_+}=-\infty$
3° limite
Prova a farlo tu per vedere se hai capito
(Un'ultima cosa.
In realtà qua è ovvio che, se l'esercizio ha senso, i denominatori verranno $0_+$ perchè ho la radice quadrata che è sempre maggiore o uguale a 0.
Io però ti ho fatto vedere il modo di agire in generale)
Resto disponibile per chiarimenti. Ciao
Ti ringrazio molto, il terzo esempio mi è chiaro.
Continuo con gli esercizi, scriverò ancora in caso di altri dubbi.
Ciao!
Continuo con gli esercizi, scriverò ancora in caso di altri dubbi.
Ciao!
Riuppo per un dubbio sortomi. Ho capito la differenza tra limite dx e sx nel caso in cui abbiamo un numero a numeratore e lo zero a denominatore, ma nel caso in cui la funzione ha valori reali non so farlo. Esempio capitatomi nel calcolo di un punto angoloso:
$f(x) = |x-1|*sqrt(8+2x-x^2)$
$f'(x) = (-7+3x+6x^2-2x^3)/(sqrt(x-1)^2*(8+2x-x^2))$
Un punto di non derivabilità è sicuramente $1$. Il dominio è $x in ]-2, 1[ U ]1, 4[$. Quindi il punto angoloso può essere ad esempio $1$.
Ora, il discorso è: perchè il limite a $1^+$ fa $+3$ mentre il limite a $1^-$ fa $-3$? Vi ringrazio per le risposte!
$f(x) = |x-1|*sqrt(8+2x-x^2)$
$f'(x) = (-7+3x+6x^2-2x^3)/(sqrt(x-1)^2*(8+2x-x^2))$
Un punto di non derivabilità è sicuramente $1$. Il dominio è $x in ]-2, 1[ U ]1, 4[$. Quindi il punto angoloso può essere ad esempio $1$.
Ora, il discorso è: perchè il limite a $1^+$ fa $+3$ mentre il limite a $1^-$ fa $-3$? Vi ringrazio per le risposte!
Ciao Mr.Mazzar!
Allora, giustamente ti chiedi cosa succede in 1 alla nostra funzione per quanto riguarda la derivabilità. Intanto quando si è in presenza di uno più più moduli nella nostra funzione la stessa va riscritta a seconda dei valori degli argomenti degli stessi e risulta pertanto essere pluridefinita. Non a caso sono proprio le funzioni pluridefinite quelle che talvolta presentano punti angolosi. La funzione in question sarà pertanto:
\[
f(x) = |x - 1| \sqrt{8 + 2x - x^2} =
\begin{cases}
(x - 1) \sqrt{8 + 2x - x^2} \text{se} x - 1 \geq 0\\
-(x - 1) \sqrt{8 + 2x - x^2} \text{se} x - 1 < 0
\end{cases}
\]
Questo corrisponde a (esplicitando la condizione sul modulo):
\[
f(x) = |x - 1| \sqrt{8 + 2x - x^2} =
\begin{cases}
(x - 1) \sqrt{8 + 2x - x^2} \text{se} x \geq 1\\
-(x - 1) \sqrt{8 + 2x - x^2} \text{se} x < 1
\end{cases}
\]
Ora di conseguenza la derivata della funzione andrà calcolata anch'essa secondo questa pluridefinizione, in particolare si ha:
\[
f'(x) =
\begin{cases}
f'((x - 1) \sqrt{8 + 2x - x^2}) \text{se} x \geq 1\\
f'(-(x - 1) \sqrt{8 + 2x - x^2}) \text{se} x < 1
\end{cases}
\]
Poiché tra il primo ed il secondo caso di differente c'è solo il segno - iniziale basterà calcolare la derivata nel primo (o secondo) caso e cambiarla di segno per l'altro rispettivo. Francamente non mi torna il calcolo della derivata che hai eseguito te tra l'altro poiché (essendo la derivata di un prodotto di due fattori e derivandola come tale) io ottengo:
\[
f'(x) =
\begin{cases}
\frac{-3x^2 + 4x + 7}{\sqrt{8 + 2x - x^2}} \text{se} x \geq 1\\
-\frac{-3x^2 + 4x + 7}{\sqrt{8 + 2x - x^2}} \text{se} x < 1
\end{cases}
\]
Ora è chiaro che per capire cosa accade nel punto $x = 1$ dobbiamo calcolare limite destro e sinistro della derivata appena determinata, ovviamente seguendo sempre la pluridefinizione. Per calcolare il limite destro pertanto utilizzeremo la derivata calcolata quando $x \geq 1$ e per quello sinistro invece la derivata quando $x < 1$. Poiché c'è solo il segno - di differente tra le due derivate basterà calcolare il limite sinistro o destro ed avremmo automaticamente anche l'altro cambiando il segno. Nella fattispecie, scegliendo ad esempio di calcolare il limite destro, abbiamo: $\lim_{x \to 1^+} \frac{-3x^2 + 4x + 7}{\sqrt{8 + 2x - x^2}} = \frac{8}{3}$. Di conseguenza $\lim_{x \to 1^-} -\frac{-3x^2 + 4x + 7}{\sqrt{8 + 2x - x^2}} = -\frac{8}{3} \ne \frac{8}{3}$ a conferma che $x = 1$ è punto angoloso per la nostra funzione.
Spero di esserti stato d'aiuto.
Allora, giustamente ti chiedi cosa succede in 1 alla nostra funzione per quanto riguarda la derivabilità. Intanto quando si è in presenza di uno più più moduli nella nostra funzione la stessa va riscritta a seconda dei valori degli argomenti degli stessi e risulta pertanto essere pluridefinita. Non a caso sono proprio le funzioni pluridefinite quelle che talvolta presentano punti angolosi. La funzione in question sarà pertanto:
\[
f(x) = |x - 1| \sqrt{8 + 2x - x^2} =
\begin{cases}
(x - 1) \sqrt{8 + 2x - x^2} \text{se} x - 1 \geq 0\\
-(x - 1) \sqrt{8 + 2x - x^2} \text{se} x - 1 < 0
\end{cases}
\]
Questo corrisponde a (esplicitando la condizione sul modulo):
\[
f(x) = |x - 1| \sqrt{8 + 2x - x^2} =
\begin{cases}
(x - 1) \sqrt{8 + 2x - x^2} \text{se} x \geq 1\\
-(x - 1) \sqrt{8 + 2x - x^2} \text{se} x < 1
\end{cases}
\]
Ora di conseguenza la derivata della funzione andrà calcolata anch'essa secondo questa pluridefinizione, in particolare si ha:
\[
f'(x) =
\begin{cases}
f'((x - 1) \sqrt{8 + 2x - x^2}) \text{se} x \geq 1\\
f'(-(x - 1) \sqrt{8 + 2x - x^2}) \text{se} x < 1
\end{cases}
\]
Poiché tra il primo ed il secondo caso di differente c'è solo il segno - iniziale basterà calcolare la derivata nel primo (o secondo) caso e cambiarla di segno per l'altro rispettivo. Francamente non mi torna il calcolo della derivata che hai eseguito te tra l'altro poiché (essendo la derivata di un prodotto di due fattori e derivandola come tale) io ottengo:
\[
f'(x) =
\begin{cases}
\frac{-3x^2 + 4x + 7}{\sqrt{8 + 2x - x^2}} \text{se} x \geq 1\\
-\frac{-3x^2 + 4x + 7}{\sqrt{8 + 2x - x^2}} \text{se} x < 1
\end{cases}
\]
Ora è chiaro che per capire cosa accade nel punto $x = 1$ dobbiamo calcolare limite destro e sinistro della derivata appena determinata, ovviamente seguendo sempre la pluridefinizione. Per calcolare il limite destro pertanto utilizzeremo la derivata calcolata quando $x \geq 1$ e per quello sinistro invece la derivata quando $x < 1$. Poiché c'è solo il segno - di differente tra le due derivate basterà calcolare il limite sinistro o destro ed avremmo automaticamente anche l'altro cambiando il segno. Nella fattispecie, scegliendo ad esempio di calcolare il limite destro, abbiamo: $\lim_{x \to 1^+} \frac{-3x^2 + 4x + 7}{\sqrt{8 + 2x - x^2}} = \frac{8}{3}$. Di conseguenza $\lim_{x \to 1^-} -\frac{-3x^2 + 4x + 7}{\sqrt{8 + 2x - x^2}} = -\frac{8}{3} \ne \frac{8}{3}$ a conferma che $x = 1$ è punto angoloso per la nostra funzione.
Spero di esserti stato d'aiuto.
Ma nel caso generico, come si differenzia un limite dx dal sx che non sia il caso di $n/0$ con $n in N$ ??
"Mr.Mazzarr":
Ma nel caso generico, come si differenzia un limite dx dal sx che non sia il caso di $n/0$ con $n in N$ ??
In realtà non è detto che i limiti destro e sinistro di una funzione in punto siano sempre da differenziare. Banalmente può infatti capitare che questi coincidano poiché per x che tende al punto considerato da destra o da sinistra si considera la stessa funzione e questa si comporta alla medesima maniera sia che si tenda al punto da destra che da sinistra.
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