Limite d'esame

[Ale1521]

All'esame di analisi 1 mi è uscito questo limite:
$\lim_{x\to0} \frac{x^{sinx}-1}{x}$
Non sono riuscito a svolgerlo, e ancora ora, se lo guardo, non mi viene in mente nulla.
Avete qualche idea?

[dan89-votailprof]

"Ale152":All'esame di analisi 1 mi è uscito questo limite:
$\lim_{x\to0} \frac{x^{sinx}-1}{x}$
Non sono riuscito a svolgerlo, e ancora ora, se lo guardo, non mi viene in mente nulla.
Avete qualche idea?

Potrebbe essere così? Dividi e moltiplichi per sinx
$\lim_{x\to0} \frac{x^{sinx}-1}{sinx}sinx/x$

Il primo termine tende a logaritmo di a il secondo va ad uno...

[Ale1521]

No, quel limite notevole lo puoi applicare quando hai una base costante, non una x :/

[void1]

Scrivi $x^{\sin x}$ come $e^{\sin x \ln x}$ e ricorda che $e^x = 1 + x + o(x)$ in un intorno di $0$.

[Ale1521]

Facendo come dici tu, mi trovo:
$\lim_{x\to0} \frac{1+sinx\cdot logx+o(x)+1}{x}=\lim_{x\to0} \frac{2}{x}+logx=\infty-\infty$
Sbaglio?

[Ale1521]

Ah sì, sbaglio! Lì è $-1$!
Quindi viene $-\infty$
Mi trovo, grazie

[Gatto891]

Non ne sono sicurissimo...

(...)$= lim_(x->0)(xsinx)/x -1/x = sinx/1 - 1/x$. Il primo termine tende a 0, mentre il secondo non ha limite, quindi il limite non dovrebbe esistere...

[Thomas16]

"Ale152":Facendo come dici tu, mi trovo:
$\lim_{x\to0} \frac{1+sinx\cdot logx+o(x)+1}{x}=\lim_{x\to0} \frac{2}{x}+logx=\infty-\infty$
Sbaglio?

in realtà è $\frac{1+sinx\cdot logx+o(sinx\cdot logx)+1}{x}$.... non che cambi molto ma se sostituisci qualcosa alla $x$ la devi sostituire anche nell'o-piccolo...

@Gatto: a parte che il senx è all'esponente e non moltiplicato, quindi non è equivalente il tuo limite (a meno che tu nn abbia saltato passaggi)... in ogni caso -1/x ha limite meno infinito per x che tende a zero...

[Gatto891]

Letto male il limite prima io. Ricordiamo che per x che tende a 0, sinx è asintotico a x.

Scriviamo il limite quindi come: $(x^x - 1)/x = x^x/x -1/x = x^(x-1) -1/x$. Il primo termine dovrebbe tendere a 0 mentre il secondo come detto prima non ha limite in quanto:

$lim_(x->0^+) -1/x = -\infty$
$lim_(x->0^-) -1/x = +\infty$

quindi la successione non dovrebbe avere limite..

[Thomas16]

ah ho capito.. ok io consideravo solo $O^+$... però non credo sia definito la funzione $a^x$ per basi negative generiche, a meno di non voler passare nei complessi.... quindi immagino che nell'esercizio sia implicito $0^+$, visto che tutto sembra "reale"...

[void1]

La funzione $f(x) = {(x^{\sin x}-1)}/x$ è definita per $x > 0$, quindi il limite cercato è da intendersi come $\lim_{\stackrel{x \to 0}{x>0}} f(x)$. Si verifica che, in un intorno di $0$, $f(x) \sim \ln x$. Infatti ${x^{\sin x}-1}/{x \ln x} = {1 + \sin x \ln x + o(\sin x \ln x)-1}/{x \ln x} = {\sin x \ln x + o(\sin x \ln x)}/{x \ln x} = {\sin x + o(\sin x)}/{x} = 1 + o(1)$.
Quindi $\lim_{\stackrel{x \to 0}{x>0}} f(x) = \lim_{\stackrel{x \to 0}{x>0}} \ln x = -\infty$.

[Ale1521]

"Thomas":ah ho capito.. ok io consideravo solo $O^+$... però non credo sia definito la funzione $a^x$ per basi negative generiche, a meno di non voler passare nei complessi.... quindi immagino che nell'esercizio sia implicito $0^+$, visto che tutto sembra "reale"...

In realtà nell'esercizio era esplicito, sono io che l'ho omesso per mia dimenticanza


Ah, inoltre $x^{x-1}$ non tende a $0$, ma a $0^{-1}=\frac{1}{0}$

[Lazar1]

Secondo me ha ragione Gatto89,non esiste se lo intendiamo come è scritto!

[marco.surfing]

ciao,
se posso darvi un consiglio.....perchè non usare hopital?

marco

[marco.surfing]

ops....forse zero alla zero è impossibile?

[Gatto891]

Qualcuno invece che ha derive? A me è scaduto un paio di settimane fa