Limite della successione per $a_1 a_2 a_3 a_4 ... a_n$

[Edex1]

Salve a tutti.
Oggi ho svolto un esercizio, credo nel modo esatto, ma non ne sono certo e quindi volevo chiedere a voi.
L'esercizio chiedeva:
Quale è il limite della successione $a_1 a_2 a_3 a_4 ... a_n$ per $n rarr +oo$ dove $a_n = n/(n+1)$?

Ho ragionato scrivendo:

$n/(n+1) = 1 - 1/(n+1)$

E ho quindi dedotto che per $n rarr +oo$ allora la somma sarebbe stata del tipo: $1 - 1/(n+1) + 1 - 1/(n+1) + ...$
Ho quindi riscritto la somma come $n - n*(1/(n+1)) = n*(1-1/(n+1))$
Questa somma per $n rarr +oo$ tende a $+oo$ quindi.

Giusto?

(Scusate se è una domanda banale)

Edit: ripensandoci forse la cosa va leggermente variata: $n$ infatti non rimane costante, ma varia al variare della posizione. Quindi invece di scrivere come sopra dovrei scrivere così:
$1-1/(n_1+1)+1-1/(n_2+1)+1-1/(n_3+1)....$
Considerando però il fatto che l'incremento di $n$ è sempre pari a uno posso scrivere :
$1-1/(n+1)+1-1/(n+2)+1-1/(n+3)... = n-(1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)...)$
Che per $n rarr +oo$ è uguale ad $n$ è cioè tende a $+oo$ giusto?

Almeno una delle due dimostrazioni che ho dato è giusta?

[Pappappero1]

Io credo che questo limite sia zero. Sia $b_n = a_1 \cdots a_n$. Noi vogliamo calcolare il limite di $b_n$ per $n\to \infty$. Basta osservare che $b_n = 1/{n+1}$ per ogni $n$. Sebbene sia una cosa abbastanza chiara, ti suggerisco di dimostrarlo formalmente per induzione.

Consiglio generale: quando si ha a che fare con prodotti (soprattutto se grandi), splittarli in somme in genere non è un'idea vincente. E' tanto bellina la forma $n/{n+1}$. Perché mai vorremmo scriverla come $1 - 1/{n+1}$.

[Edex1]

Scusate ho sbagliato a scrivere, ho dimenticato le virgole, non è un prodotto, è una somma!
Se fosse stato un prodotto comunque non sarebbe stato uguale a uno?
Grazie!

[gugo82]

Insomma, vuoi calcolare \(\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n+1}\)?

Beh, allora ti basta tenere presente che la serie è a termini positivi, non soddisfa la condizione necessaria alla convergenza e che (come diceva mia nonna) se non è zuppa è pan bagnato.