Limite della successione delle derivate di funzioni convesse
Sia $(f_n)_ {n\in\mathbb{N}}$ una successione di funzioni convesse e derivabili su $\mathbb{R}$ tali che
\[f_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}f(x)\ \forall x\in\mathbb{R}\]
Posto $D:=\{x\in\mathbb{R}|f\text{ è derivabile in }x\}$, ho letto che
\[f_n'(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}f'(x)\ \forall x\in D\]
Come si può fare per dimostrarlo?
\[f_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}f(x)\ \forall x\in\mathbb{R}\]
Posto $D:=\{x\in\mathbb{R}|f\text{ è derivabile in }x\}$, ho letto che
\[f_n'(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}f'(x)\ \forall x\in D\]
Come si può fare per dimostrarlo?
Risposte
La funzione \(f\) è convessa; inoltre la convergenza è uniforme in ogni sottoinsieme compatto.
La relazione \(\lim_n f_n'(x) = f'(x)\) vale, come hai scritto, nei punti di derivabilità di \(f\). Più in generale, nelle ipotesi date si può dimostrare che, fissato \(x\), per ogni \(\epsilon > 0\) esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che
\[
(1) \qquad f'_-(x) - \epsilon < f_n'(x) < f'_+(x) + \epsilon, \qquad \forall n\geq N.
\]
(Chiaramente, se \(x\in D\), questo implica che \(\lim_n f_n'(x) = f'(x)\).)
La dimostrazione di (1) è abbastanza semplice. Dimostriamo, ad esempio, la disuguaglianza destra.
Fissiamo \(x\in\mathbb{R}\) e \(\epsilon > 0\). Per definizione di derivata destra, esiste \(\delta > 0\) tale che
\[
\frac{f(x+\delta) - f(x)}{\delta} < f'_+(x) + \epsilon.
\]
Poiché \((f_n)\) converge puntualmente a \(f\), esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che
\[
\frac{f_n(x+\delta) - f_n(x)}{\delta} < f'_+(x) + \epsilon,\qquad\forall n>N.
\]
D'altra parte, essendo le \(f_n\) convesse e derivabili, si ha che
\[
f_n'(x)\leq \frac{f_n(x+\delta) - f_n(x)}{\delta}
\]
da cui
\[
f_n'(x) < f'_+(x) + \epsilon,\qquad\forall n>N.
\]
La relazione \(\lim_n f_n'(x) = f'(x)\) vale, come hai scritto, nei punti di derivabilità di \(f\). Più in generale, nelle ipotesi date si può dimostrare che, fissato \(x\), per ogni \(\epsilon > 0\) esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che
\[
(1) \qquad f'_-(x) - \epsilon < f_n'(x) < f'_+(x) + \epsilon, \qquad \forall n\geq N.
\]
(Chiaramente, se \(x\in D\), questo implica che \(\lim_n f_n'(x) = f'(x)\).)
La dimostrazione di (1) è abbastanza semplice. Dimostriamo, ad esempio, la disuguaglianza destra.
Fissiamo \(x\in\mathbb{R}\) e \(\epsilon > 0\). Per definizione di derivata destra, esiste \(\delta > 0\) tale che
\[
\frac{f(x+\delta) - f(x)}{\delta} < f'_+(x) + \epsilon.
\]
Poiché \((f_n)\) converge puntualmente a \(f\), esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che
\[
\frac{f_n(x+\delta) - f_n(x)}{\delta} < f'_+(x) + \epsilon,\qquad\forall n>N.
\]
D'altra parte, essendo le \(f_n\) convesse e derivabili, si ha che
\[
f_n'(x)\leq \frac{f_n(x+\delta) - f_n(x)}{\delta}
\]
da cui
\[
f_n'(x) < f'_+(x) + \epsilon,\qquad\forall n>N.
\]
Capito, grazie mille Rigel! Mi sembra una proprietà molto forte per le funzioni convesse: di solito non è affatto semplice dedurre la convergenza delle $f_n'$ dalla convergenza delle $f_n$.
E tanto per sapere il fatto che la convergenza sia uniforme sui compatti è più complicato da dimostrare?
Mi sapresti indicare una referenza per tutte queste proprietà delle funzioni convesse?
E tanto per sapere il fatto che la convergenza sia uniforme sui compatti è più complicato da dimostrare?
Mi sapresti indicare una referenza per tutte queste proprietà delle funzioni convesse?
"qwertyuio":
Mi sapresti indicare una referenza per tutte queste proprietà delle funzioni convesse?
Libri sulla convessità ce ne sono per tutti i gusti, anche se non so quanti approfondiscano per bene questa parte sulle convergenze.
Un libricino senz'altro interessante è il Rockafellar, Convex Analysis; un altro degno di nota è il Webster, Convexity.
Grazie dei libri gugo82, effettivamente mi pare la convergenza di funzioni convesse non venga trattata
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo